Az algebrák tenzorszorzata

Az algebrák tenzorszorzata egy új algebrát ad, ha egy kommutatív gyűrűn két algebrát kapunk . A leggyakoribb eset az, amikor a gyűrű egy mező .

Definíció

Legyen R kommutatív gyűrű, A és B pedig R -algebrák. Mivel A és B R - modulnak tekinthető , a tenzorszorzatuk

A\otimes _{R}B

is egy R - modul. Egy tenzorszorzatnak megadható egy gyűrű szerkezete, ha a ⊗ b formájú prímelemeken definiálunk egy szorzatot a következőképpen [1] [2]

{\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2))

majd ezt a műveletet lineárisan kiterjesztve az egész A ⊗ R B -re . Az eredményül kapott gyűrű egy R -algebra asszociatív az 1 A ⊗ 1 B [3] által adott azonossági elemmel , ahol 1 A és 1 B A és B azonossági elemei . Ha A és B kommutatív, akkor a tenzorszorzat is kommutatív.

A tenzorszorzat az R -algebrák kategóriáját szimmetrikus monoidális kategóriává alakítja .

Tulajdonságok

Léteznek természetes homomorfizmusok A -tól és B -től A -ig ⊗ R B , a következőképpen definiálva [4] :

{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B))

b\mapsto 1_{A}\otimes b

Ezek a térképek a tenzorszorzatot a kommutatív R -algebrák kategóriájának koszorzatává teszik .

Ráadásul a tenzorszorzat nem koszorzat az összes R -algebra kategóriájában. Itt a koszorzatot az algebrák általánosabb szabadszorzata adja. Ennek ellenére a nem kommutatív algebrák tenzorszorzata leírható a koszorzat tulajdonsághoz hasonló univerzális tulajdonsággal:

{\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}} (B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rkapcsos zárójel ,

ahol [-, -] a kommutátort jelöli . A természetes izomorfizmust úgy adjuk meg, hogy a bal oldali morfizmust azonosítjuk a jobb oldalon lévő morfizmuspárral , ahol és hasonlóan . $\phi :A\otimes B\to X$ ${\megjelenítési stílus (f,g)}$ $f(a):=\phi (a\otimes 1)$ $g(b):=\phi (1\otimes b)$

Jegyzetek

↑ Kassel (1995), [ [1] in " Google Books " p. 32].
↑ Lang, 2002 , pp. 629-630.
↑ Kassel (1995), [ [2] in " Google Books " p. 32].
↑ Kassel (1995), [ [3] in " Google Books " p. 32].

Irodalom

Lang, Serge. Algebra. - Springer, 2002. - Vol. 21. - ISBN 0-387-95385-X .