Alternatív algebra
Az alternatív algebra egy olyan mező feletti algebra , amelyben a szorzás alternatíva [1] . Nyilvánvalóan minden asszociatív algebra alternatív, de vannak nem asszociatív alternatív algebrák is, amelyekre példa az oktáv . Az oktávok általánosítása, a sedenionok már nem rendelkeznek az alternatíva tulajdonságával.
Kapcsolat Maltsev algebrával
Az alternatív algebra és a Maltsev-algebra esetében létezik a Poincaré-Birkhoff-Witt-tétel analógja . Az alternatív algebrák és a Maltsev-algebrák között a következő összefüggés áll fenn: a g(A,B) szorzást egy alternatív M algebrában az [A,B]=g(A,B)-g(B,A) kommutátor művelettel helyettesítjük, Maltsev algebrává alakítja .
Társulás
![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
az alternatív algebrát meghatározó azonosságok [2]
![[x,x,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![[y,x,x] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856eb0c9a06c9acba9f595cbf7d89a494e753918)
bármely elemre és Innen az asszociátor multilinearitása miatt könnyen beszerezhető az
![[x,y,z] + [y,x,z] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c4174c40b512f80e585cd9a5b199e49ff9954)
![[x,y,z] + [x,z,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd67742634b472c30237b7d7c159eb5cbdf8d8)
Így az alternatív algebrában az asszociátor egy alternatív művelet:
![[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
ahol - elemek permutációja - ennek a permutációnak a paritása. Ez fordítva is igaz: ha az asszociátor alternatív, akkor a gyűrű alternatív. Az alternatív gyűrűk az asszociátor alternatívájával való kapcsolat miatt kaptak ilyen nevet.
Hasonlóképpen kimutatható, hogy ahhoz, hogy egy társító alternatíva legyen, elegendő, ha a következő identitások bármelyike fennáll:
ahonnan az azonosságok közül rögtön a harmadik következik.
Jegyzetek
- ↑ „Matematikai enciklopédia” / Főszerkesztő I. M. Vinogradov. - M . : "Szovjet Enciklopédia", 1979. - T. 2. - 1104 p. - (51 [03] M34). - 148 800 példány.
- ↑ Zhevalkov K.A., Slinko A.M., Shestakov I.P., Shirshov A.I., "Rings close to asssociative" M.: Nauka, 1978. 2. fejezet, 3. bekezdés. 49-55.
Irodalom
- Szkornyakov L. A., Shestakov I. P. . fejezet III. Gyűrűk és modulok // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Tudomány , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .
- Schafer, Richard D. Bevezetés a nem asszociatív algebrákba (angol) . - New York: Dover Publications , 1995. - ISBN 0-486-68813-5 .