Gyorsaság

Gyorsaság ( angol gyorsaság , néha [1] is használják a hipersebesség és a Lorentz-forgás szöge ) - a relativisztikus kinematikában a sebesség monoton növekvő függvénye , amely a végtelenbe hajlik, amikor a sebesség a fénysebesség felé hajlik . A sebességgel ellentétben, amelyre az összeadási törvény nem triviális, a sebességet egy egyszerű összeadási törvény jellemzi ("a sebesség additív"). Ezért a relativisztikus mozgásokkal kapcsolatos problémáknál (például a részecskereakciók kinematikája a nagyenergiájú fizikában ) gyakran kényelmesebb a gyorsaságok formalizmusát használni, nem pedig a közönséges sebességeket.

Definíció és tulajdonságok

A sebességet a következő képlet fejezi ki:

\theta =c\,\operátornév {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

ahol

$\theta$ - sebesség,
$v$ - normál sebesség
$c$ a fény sebessége,
$\operatorname {Arth} x$ - területtangens .

A területtangens (vagy hiperbolikus arctangens ) az argumentum -1 és +1 közötti tartományában van definiálva; funkcióval _ $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Így a sebességnek a sebesség dimenziója van, és amikor a sebesség változik -ról -ra, akkor -ról -ra változik . Néha a sebesség paramétert is bevezetik - egy dimenzió nélküli mennyiséget , amelyet néha sebességnek is neveznek (különösen a nagyenergiájú fizikában az egységrendszer szokásos használatával, ahol , ami nagymértékben leegyszerűsíti a képleteket; ezzel a meghatározással a sebesség dimenzió nélkülivé válik és egybeesik a sebesség paraméterrel). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operátornév {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

Alacsony sebesség határán a sebesség megközelítőleg megegyezik a sebességgel:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\jobbra)^{2}+...\jobbra)\ kb v

at .

v\ll c

Ultrarelativisztikus esetben a gyorsasági paramétert energiával és longitudinális impulzussal (ahol α az indulási szög) a következőképpen fejezhetjük ki : $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

Ebben az esetben a részecske energiája és hosszirányú impulzusa kifejezhető a részecske tömegével, a keresztirányú impulzusával és a sebesség paraméterével: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operátornév {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operátornév {sh} \varphi .

Lorentz-faktor

A sebességhez gyakran használt mennyiség a Lorentz-tényező , vagy Lorentz-tényező , amelyet G. A. Lorentzről neveztek el és definíció szerint

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))).

A Lorentz-tényező egyenlő a sebesség paraméter hiperbolikus koszinuszával:

\gamma =\operátornév {ch} \varphi .

Ahogy a sebesség 0-ról növekszik , a Lorentz-tényező 1-ről növekszik . $c$ $\gamma$ $+\infty$

A sebesség paraméter hiperbolikus szinusza egyenlő a Lorentz-tényező és a dimenzió nélküli sebesség szorzatával:

\beta \gamma =\operátornév {sh} \varphi .

A sebesség additivitása

Valamelyik inerciális vonatkoztatási rendszerben két részecske mozog egy egyenes mentén, az egyik sebessége egyenlő -vel, a másodiké pedig az elsőhöz viszonyított sebessége egyenlő (a sebesség pozitív és negatív is lehet). Jelöljük a rendszerben a második részecske sebességét . Alacsony (a fénysebességhez képest ) sebességeknél a sebességek összeadásának Galilei törvénye megközelítőleg teljesül . Relativisztikus esetben azonban ez a képlet nem működik, és a második részecske sebességét Lorentz-transzformációkkal kell kiszámítani . A sebességek összeadásának relativisztikus törvénye $K$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $K$ $v_{2}$ $c$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

eltér a galilei nevezőtől, amely alacsony sebességnél közel áll az egységhez. Tekintsük a sebességeknek megfelelő sebességeket . Kiderül, hogy a referenciakeretben lévő második részecske sebessége megegyezik a sebességek összegével: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

A sebességek sebességek összeadásának törvényének kényelmessége oda vezetett, hogy ezt a mennyiséget meglehetősen széles körben használják a relativisztikus kinematikában, különösen a gyorsítófizikában. Emlékeztetni kell azonban arra, hogy a sebességek összeadása formailag egybeesik a sebességek Galilei vektoros összeadásával, csak a részecskék egydimenziós mozgása esetén.

Bemutatjuk a teljes sebességet is, amely a Lorentz-transzformációknál additív, és távolságot jelent a sebességek terében. A sebesség a teljes sebesség hosszirányú összetevője. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

A sebesség geometriai jelentése

A Minkowski-térben a gyorsaság a részecske világvonalának érintője és az alap referenciakeretben lévő időtengely közötti szög . A Minkowski formalizmusban ( ) ez a szög képzeletbeli . $x_{0}=ict$

A hiperbolikus komplex számok formalizmusában (más néven kettős számok vagy parakomplex számok - a komplex számok olyan változata, amelyben a j képzeletbeli egységet a j 2 = +1 összefüggés határozza meg ) a Minkowski-tér egy pontját parakomplexszel ábrázolják. szám z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , ahol φ és ρ valós. Ebben az esetben a φ szög az origóból egyenletesen elmozduló és a z ponton áthaladó részecske sebessége, ρ pedig az origótól a z pontig tartó intervallum (vagyis a részecske megfelelő ideje, amely eltelt az origón áthaladva a z -n áthaladva ). A Lorentz-transzformációt úgy határozzuk meg, hogy a parakomplex számokkal kifejezett tér-idő koordinátákat megszorozzuk egy λ(φ) = e j φ egységmodulusú parakomplex számmal . Ennek eredményeként minden intervallum megmarad, és a parakomplex Minkowski-síkot φ szöggel elforgatjuk . Két egymást követő Lorentz-transzformáció mutatja a gyorsaság additivitását, hasonlóan a forgásszög additivitásához:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

A speciális relativitáselmélet néhány mennyisége sebességben kifejezve

Relativisztikus momentum:

p=mc\cdot \operátornév {sh} {\frac {\theta }{c))=mc\cdot \operátornév {sh} \varphi ,

ahol:

m a tömeg,
c a fénysebesség,
φ = θ/ c a sebességparaméter (dimenzió nélküli sebesség).

Teljes energia:

E=mc^{2}\cdot \operátornév {ch} {\frac {\theta }{c))=mc^{2}\cdot \operátornév {ch} \varphi .

Sebesség a szervizben:

v=c\cdot \operátornév {th} {\frac {\theta }{c))=c\cdot \operátornév {th} \varphi .

Mérettelen sebesség

\beta =\operátornév {th} \varphi .

Relativisztikus Doppler-effektus (ha a sebességvektor egybeesik a forrás irányával):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },

hol van a vöröseltolódási paraméter . $z$

Lásd még

Pseudospeed
Lorenz lendületet

Irodalom

Baburova O. V. Lobacsevszkij relativisztikus kinematikája és geometriája // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Orosz)
Grishin V. G. Rapidity // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. - S. 233. - 707 p. — 100.000 példány.

Jegyzetek

↑ Kopylov G.I. A rezonanciák kinematikájának alapjai. - M .: Nauka, 1970.