Inverz hiperbolikus függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Az inverz hiperbolikus függvények (más néven területfüggvények vagy területfüggvények ) a hiperbolikus függvények inverz függvényeiként meghatározott elemi függvények családja . Ezek a függvények az x 2 − y 2 = 1 egységhiperbola szektorának területét ugyanúgy meghatározzák, mint az inverz trigonometrikus függvények az x 2 + y 2 = 1 egységkör ívének hosszát . . Ezekre a függvényekre gyakran használják az arcsinh, arcsh, arccosh, arcch stb. megnevezéseket, bár ezek a megjelölések szigorúan véve hibásak, mivel az arc előtag az arcus (arc) rövidítése, és ezért csak az inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozik . majd ahogy az ar területet jelent . Helyesebb jelölések az arsinh, arsh stb. és az inverz hiperbolikus szinusz , területi szinusz stb. Szintén [1] használatosak a hiperbolikus areazin , hiperbolikus területkozinusz stb. nevek, de a „ hiperbolikus ” szó itt felesleges, mivel a „ terület ” előtag egyértelműen jelzi, hogy a függvény az inverz hiperbolikus függvények családjába tartozik . Néha a megfelelő függvények nevét kötőjellel írjuk : terület-szinusz , terület-koszinusz stb.

A komplex síkban a hiperbolikus függvények periodikusak, inverz függvényeik pedig többértékűek. Ezért az inverz trigonometrikus függvényekhez hasonlóan a területfüggvényeket nagybetűvel szokás írni, ha a függvény értékkészletére gondolunk ( a megfelelő függvénydefinícióban a logaritmus a logaritmus általános értékeként is értendő, jelölve Ln által). A megfelelő függvények fő értékei kis betűvel vannak írva.

Az orosz szakirodalomban a legtöbb direkt és inverz hiperbolikus függvény (valamint a trigonometrikus függvények részeinek) megnevezése eltér az angol megjelölésektől.

Funkció neve	Megnevezés az orosz irodalomban	Megnevezés az angol szakirodalomban
areasinus	arsh	arsinh, sinh −1
területkozinusz	boltív	arcosh, cosh -1
terület érintő	arth	artanh, tanh −1
terület érintő	arcth	arcoth, coth -1
areaszekance	arsch, arsech	arsech, sech -1
területsecant	arcsch	arcsch, csch− 1

Függvénydefiníciók

A komplex síkban a függvények főértékei a következő képletekkel határozhatók meg:

areasinus

\operátornév {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

területkozinusz

\operátornév {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

terület érintő

\operátornév {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\jobb);

terület érintő

\operátornév {arcth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\jobb);

areaszekance

\operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \jobb);

területsecant

\operátornév {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ jobb).

Ezekben a képletekben a négyzetgyökök a négyzetgyök fő értékei (vagyis ha a z komplex számot ábrázolja, mint a -ban ), a logaritmikus függvények pedig a komplex változó függvényei. Valódi érvek esetén néhány egyszerűsítést lehet tenni, például, amelyek nem mindig igazak a négyzetgyök fő értékeire. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ $z=re^{i\varphi }$ $-\pi <\varphi \leq \pi$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

A sorozat bővítése

Az inverz hiperbolikus függvények sorozatokba bővíthetők :

{\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty } \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\jobbra){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\ frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\jobb){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 }{2}}\jobbra){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\jobbra){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left (\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\jobbra){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\jobbra){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{igazított}}

{\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned} }

Az arsh x aszimptotikus kiterjesztését az adja meg

\operátornév {arsh}\,x=\ln 2x+\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ frac {{\left({2n-1}\right)!!}}{{2n\left({2n}\right)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Származékok

Funkció $f(x)$	Derivált $f'(x)$	jegyzet
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Bizonyíték ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bizonyíték ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bizonyíték $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bizonyíték $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \ x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))))$