Gyilkos mező

A Killing mező (a relativitáselméletben gyakran csak a Killing vektor ) egy Riemann- vagy pszeudo-Riemann-sokaság (lokális) egyparaméteres mozgáscsoportjának vektorsebesség -mezeje .

Más szóval, a Killing vektormező által generált áramlás a sokaság folytonos egyparaméteres mozgáscsaládját határozza meg, vagyis olyan transzformációkat, amelyek alatt a metrikus tenzor invariáns marad.

Különösen, ha egy rendszerben a metrikus tenzor független az egyik koordinátától , akkor az adott koordináta mentén lévő vektormező egy Killing mező lesz. $g_{\mu \nu }$ $x^{\mu }$ ${\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }$

Az ölő vektorok a fizikában a fizikai modell szimmetriáját jelzik , és segítenek megtalálni a megmaradt mennyiségeket, például energiát , lendületet vagy spint . A relativitáselméletben például, ha a metrikus tenzor nem függ az időtől, akkor a téridőben van egy időszerű Killing vektor, amelyhez egy megmaradt mennyiség társul - a gravitációs mező energiája.

A nevet Wilhelm Killing német matematikus tiszteletére adták , aki a Sophus Lie -vel párhuzamosan fedezte fel a Lie-csoportokat és sok tulajdonságukat .

Definíció

Egy vektormezőt gyilkos mezőnek nevezünk, ha teljesíti a következő egyenletet : $x$ $M$

{\mathcal {L}}_{X}g=0,

ahol a Lie derivált a -ra vonatkoztatva , a a -ra vonatkozó Riemann-metrika . ${\mathcal {L}}_{X}$ $x$ $g$ $M$

Ez az egyenlet átírható a Levi-Civita kapcsolat szempontjából :

g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0

bármely mezőre és . $Y$ $Z$

A helyi koordináták tekintetében:

\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.

Tulajdonságok

Egy vektormező akkor és csak akkor gyilkos mező, ha bármely geodetikusra vonatkozó korlátozás Jacobi mező . $x$ $x$
Egy Killing mező megadásához elegendő megadni az értékét, plusz az összes ( kovariáns ) elsőrendű származékának értékét, egyetlen pontban. Innentől kezdve a vektormező kiterjeszthető a teljes gyűjtőre.
A két Killing mező Lie zárójele vagy kommutátora ismét egy Killing mezőt ad. Így a Killing mezők a sokaságon lévő összes (differenciálható) vektormező végtelen dimenziós Lie algebrájának részalgebráját alkotják . Ez a részalgebra a sokaság mozgáscsoportjának Lie algebrája.
A Killing mezők lineáris kombinációja egyben Killing mező is.
- Illusztráció a Killing mezők hozzáadásával egy síkon. Az origó körüli forgási mező + az y tengely mentén párhuzamos transzlációs mező = az origótól eltolt középpont körüli forgásmező az x tengely mentén : Mindhárom mező a sík mozgástere.
Ha egy kompakt sokaság Ricci-görbülete negatív, akkor nincsenek rajta nem triviális (vagyis nem egyformán nulla) gyilkos mezők.
Ha egy kompakt elosztó keresztmetszeti görbülete pozitív és a méret egyenletes, akkor a Killing mezőnek nullának kell lennie.

Példák

Három lineárisan független Killing mező van az euklideszi síkon:

{\displaystyle \xi _{1}=\mathbf {e} _{x))

. _

{\displaystyle \xi _{2}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Az első két Killing mező a tengelyek mentén történő eltolások egyparaméteres alcsoportjainak felel meg , az utolsó pedig az origó körüli elforgatások egy alcsoportjának. E három alcsoport különféle kombinációi kimerítik a sík lehetséges mozgásait .

x

y

A háromdimenziós euklideszi térben hat lineárisan független gyilkos mező van: $\mathbb {R} ^{3}$

{\displaystyle \xi _{x}=\mathbf {e} _{x))

. _

{\displaystyle \xi _{y}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},

\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Az utolsó három mező , és egyben ölő mezők a gömbön (ez nyilvánvalóvá válik, ha háromdimenziós térbe merítjük ). $\zeta _{x}$ $\zeta _{y}$ $\zeta _{z}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{2))$
Az egyenlet által adott egyértékű hiperboloidnak a Minkowski-térbe merítve a metrika három lineárisan független Killing mezője van, hasonlóan a gömb Killing mezőihez: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2))$

\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Változatok és általánosítások

A konform Killing mezőket a képlet határozza meg

{\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g

némi skalárért . Konformális leképezések egyparaméteres családjaiból származnak .

\lambda

Konformális tenzor Killing mezők : szimmetrikus tenzormezők , amelyek szimmetriája nulla. $T$ $\nabla T$
Az antiszimmetrikus Killing-Yano tenzormező , amelyet gyakran "a szimmetrikus Killing tenzormező négyzetgyökeként" ábrázolnak. A Killing és Killing-Yano tenzorok által leírt szimmetria létezik a forgó Kerr fekete lyukakban , valamint néhány általánosításuk. Egy ilyen szimmetria megléte magyarázza, hogy a klasszikus és a kvantumrelativisztikus mechanika mozgásegyenleteiben miért különülnek el a változók : Hamilton-Jacobi , hullám , Klein-Gordon , Dirac stb. [1]
A Killing tenzor mező .

Jegyzetek

↑ Alekszej Boriszovics Gaina . Kvantumrészecskék az Einstein-Maxwell-mezőkben/Kishinevben. Shtiintsa. 1989.

Irodalom

Rashevsky P. K. Riemann geometria és tenzoranalízis - M .: Nauka, 1967.
Eisenhart L.P. Riemann geometria - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
Xelgason S. Differenciálgeometria és szimmetrikus terek - M.: Mir, 1964.
Kobayashi Sh., Nomizu K. A differenciálgeometria alapjai - M.: Nauka, 1981.