Markov pillanata

A matematikában a megállási pont elmélete vagy a Markov-idő egy bizonyos cselekvés időzítésének problémájához kapcsolódik, hogy maximalizálja a várt jutalmat vagy minimalizálja a várható költséget. A megállópont probléma a statisztika , a közgazdaságtan és a pénzügyi matematika (az amerikai opciós árazással összefüggésben ) területén található. A megállás pillanatához kapcsolódó legfigyelemreméltóbb példa a Picy Bride Problem . A leállási pillanat problémája gyakran felírható a Bellman-egyenlet formájában, ezért gyakran dinamikus programozással oldják meg .

Definíció

Diszkrét idejű eset

A megállás pillanatának problémája általában két tárgyhoz kapcsolódik:

Valószínűségi változók sorozata, amelyek együttes eloszlását ismertnek feltételezzük $X_{1},X_{2},\ldots$
A "jutalmazó" függvények sorozata, amelyek a valószínűségi változók megfigyelt értékeitől függenek az 1-ben: ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$ $y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})$

Ezen objektumok ismeretében a probléma a következő:

A véletlen változók sorozatát megfigyelve mindegyiknél választhat, hogy abbahagyja a megfigyelést, vagy folytatja $én$
Ha abbahagyja a nézését , jutalmat kap $én$ $y_{i}$
Stop szabályt szeretne választani a várt jutalom maximalizálása érdekében (vagy ennek megfelelően minimalizálja a várható veszteséget)

Folyamatos időeset

Tekintsük a szűrt valószínűségi téren definiált folyamatok erősítését, és tételezzük fel, hogy ez a szűrés adaptációja. A leállási idő probléma az, hogy megtaláljuk azt a leállási időt , amely maximalizálja a várható kifizetést . ${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ $G$ $\tau ^{*}$

V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }

ahol a függvény értékének nevezzük . Itt számíthat . ${\displaystyle V_{t}^{T))$ $T$ $\infty$

Egy konkrétabb megfogalmazás a következő. Egy adaptált erős Markov-folyamatot egy szűrt valószínűségi téren definiáltunk , ahol a mérés valószínűségét jelöli, ahol a véletlenszerű folyamat -val kezdődik . A folyamatos függvények figyelembevétele és a leállási idő problémája $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})$ $\mathbb {P} _{x}$ $x$ $M,L$ $K$

V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{ \tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).

Ezt néha MLS (Meyer, Lagrange és Supremum) készítménynek is nevezik. [egy]

Megoldási módszerek

A megállási pont probléma megoldásának két módja van. Ha a mögöttes folyamatot (vagy folyamaterősítést) annak feltétlen véges dimenziós eloszlásával írjuk le, akkor a megfelelő megoldási módszer a Martingale-megközelítés, amelyet azért neveztek el, mert Martingale -elméletet használ , és a legfontosabb koncepció a Snell-féle fejlesztés . A diszkrét esetben, ha a tervezési horizont véges, a probléma könnyen megoldható dinamikus programozással . $T$

Ha a mögöttes folyamatot (feltételes) átmeneti függvénycsalád határozza meg, amely valószínűségi átmenetek Markov-családjához vezet, akkor gyakran használhatók a Markov-folyamatelmélet hatékony analitikai eszközei, és ezt a megközelítést Markov-módszernek nevezik. A megoldást általában a kapcsolódó problémák szabad határokkal (Stefan-feladatok) megoldásával kapjuk.

Jump Diffusion Result

Legyen a Levy diffúzió a sztochasztikus differenciálegyenletből ${\displaystyle Y_{t))$ ${\mathbb {R}}^{k}$

dY_{t}=b(Y_{t})dt+\sigma (Y_{t})dB_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{k))\gamma (Y_{t- },z){\bar {N}}(dt,dz),\quad Y_{0}=y

ahol egy -dimenziós Brown-mozgás , ez egy -dimenziós kompenzált Poisson-féle véletlenszerű mérték, , , és úgy működik, hogy létezik egyedi megoldás . Legyen nyitott halmaz (fizetőképességi terület) és $B$ $m$ ${\bar {N))$ $l$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k))$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times m))$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times l))$ $(Y_{t})$ ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{k}$

\tau _{\mathcal {S}}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin {\mathcal {S}}\}

csődidő. Optimális leállási probléma:

V(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\mathcal {S))}J^{\tau }(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\ mathcal {S))}\mathbb {E} _{y}\left[M(Y_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(Y_{t})dt\right].

Kiderül, hogy bizonyos szabályossági feltételek mellett [2] a tétel következő ellenőrzése tartalmazza:

Ha a függvény kielégíti $\phi :{\bar {\mathcal {S}}}\to \mathbb {R}$

$\phi \in C({\bar {\mathcal {S}}})\cap C^{1}({\mathcal {S}})\cap C^{2}({\mathcal {S }}\setminus \partial D)$ ahol a területek a folytatásai , $D=\{y\in {\mathcal {S}}:\phi (y)>M(y)\}$
$\phi \geq M$ és _ ${\mathcal {S))$
${\mathcal {A}}\phi +L\leq 0$ on , honnan van egy infinitezimális generátor ${\mathcal {S}}\setminus \partial D$ ${\mathcal {A}}$ $(Y_{t})$

akkor mindenkinek . Ezen kívül, ha $\phi (y)\geq V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$

${\mathcal {A}}\phi +L=0$ a $D$

Akkor mindenkinek és itt a megállás ideje $\phi (y)=V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$ ${\displaystyle \tau ^{*}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin D\))$

Ezeket a feltételeket tömörebb formában is felírhatjuk (integro-variációs egyenlőtlenség):

$\max \left\{{\mathcal {A}}\phi +L,M-\phi \right\}=0$ a ${\mathcal {S}}\setminus \partial D.$

Példák

Érmefeldobás

(Például ahol konvergál) $\mathbb {E} (y_{i})$

Van egy érméd, és többször feldobod. Minden alkalommal, mielőtt eldobnád, abbahagyhatod a dobást, és kapsz fizetést (mondjuk dollárban) a látott fejek átlagos számáért.

A maximális összeget szeretné, ha egy stop szabályt választaná. Ha x i (ahol i ≥ 1) független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát alkotja Bernoulli eloszlású

{\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),

és ha

y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}

akkor a sorozatban az ehhez a problémához kapcsolódó objektumok lesznek . $(X_{i})_{i\geq 1}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$

Ház eladása

(Például ahol nem feltétlenül konvergál) $\mathbb {E} (y_{i})$

Van egy háza, és szeretné eladni. Minden nap felajánlják otthonát, és fizet a folyamatos reklámozásért. Ha naponta eladja otthonát , hol fog keresni . $X_n$ $k$ $n$ $y_{n}$ $y_{n}=(X_{n}-nk)$

Maximalizálni szeretné a keresett összeget egy stop szabály kiválasztásával.

Ebben a példában a sorozat ( ) az Ön házára vonatkozó ajánlatok sorozata, a „jutalmak” funkció sorozata pedig meghatározza, hogy mennyit fog keresni. $X_{i}$

Picy Bride Problem

(Például hol van a végső sorozat) $(X_{i})$

Olyan objektumok sorozatát figyeli meg, amelyek a legjobbtól a legrosszabbig rendezhetők. Olyan leállítási szabályt szeretne választani, amely maximalizálja az esélyét a legjobb funkció kiválasztására.

Például, ha ( n valami nagy szám, talán) a jellemzők rangsorai, és ez az esélye annak, hogy a legjobb tulajdonságot választja, ha abbahagyja a jellemzők szándékos elutasítását az i lépésben, akkor ezek a sorozatok ehhez kapcsolódnak. probléma. Ezt a problémát az 1960-as évek elején többen is megoldották. Elegáns megoldást a titkári problémára és ennek a problémának számos módosítását egy modernebb optimális leállítási algoritmus (Bruce algoritmusa) nyújtja. ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n))$ $y_{i}$ $(R_{i})$ $(y_{i})$

Keresés elmélet

A közgazdászok számos, a „titkári problémához” hasonló, optimális leállási idővel kapcsolatos problémát tanulmányoztak, és az ilyen típusú elemzéseket általában „kereséselméletnek” nevezik. A keresési elmélet különösen arra összpontosít, hogy a munkavállaló jól fizető állást keres, vagy a fogyasztó olcsó terméket keres.

Opciós kereskedés

A pénzügyi piacokon folytatott opciós kereskedés során az amerikai opció tulajdonosa gyakorolhatja a mögöttes eszköz meghatározott áron történő megvásárlásának (vagy eladásának) jogát bármikor a lejárat előtt vagy a lejáratkor. Így az amerikai opciók értékelése alapvetően optimális stop probléma. Tekintsük a klasszikus Black-Scholes modellt , és legyen a kockázatmentes kamatláb , valamint az osztalék mértéke és a részvények volatilitása. A részvényárfolyam geometriai Brown-mozgást követ $r$ $\delta$ $\sigma$ $S$

S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t }\jobb\}

A kockázat mértéke szerint.

Ha a paraméter végtelen, az optimális leállási probléma

V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]

hol van a vételi opció és a fogadási opció kifizetési függvénye. Variációs egyenlőtlenség ${\displaystyle g(x)=(xK)^{+))$ ${\displaystyle g(x)=(Kx)^{+))$

\max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV (x),g(x)-V(x)\jobbra\}=0

mindenki számára, ahol ez a testedzés határa. A megoldás ismert [3] $x\in (0,\infty )\setminus \{b\}$ $b$

(Infinite Challenge) ahol és $V(x)={\begin{cases}(bK)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\xK&x\in [b,\infty )\end{cases }}$ $\gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r))-\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).$
(Végtelen arány) ahol és $V(x)={\begin{cases}Kx&x\in (0,c]\\(Kc)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty ) \end{cases}}$ ${\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).$

Másrészt, ha az időkorlát véges, akkor a probléma a kétdimenziós szabad határproblémával kapcsolatos ismert zárt formájú megoldás nélkül. Különféle numerikus módszerek azonban használhatók. Lásd a Black-Scholes Model#American Options opciókat a különféle értékelési módszerekért itt, a Fugit pedig egy diszkrét fa alapú optimális képzési időért.

Lásd még

Sztochasztikus szabályozás
Markov döntési folyamata

Linkek

↑ Peskir, Goran; Shiryaev, AlbertOptimális megállás és szabad határproblémák (meghatározatlan) . - 2006. - T. Matematikai előadások. ETH Zürich . - ISBN 978-3-7643-2419-3 . - doi : 10.1007/978-3-7643-7390-0 .
↑ Øksendal, B.; Sulem, AS Applied Stochastic Control of Jump Diffusions (neopr.) . - 2007. - ISBN 978-3-540-69825-8 . - doi : 10.1007/978-3-540-69826-5 .
↑ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E.A matematikai pénzügy módszerei (határozatlan idejű) . - 1998. - T. 39 . - ISBN 978-0-387-94839-3 . - doi : 10.1007/b98840 .