Simpson formula
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 19 szerkesztést igényelnek .A Simpson-képlet (más néven Newton -Simpson [1] ) numerikus integrációs technikákra utal . Nevét Thomas Simpson (1710-1761) brit matematikusról kapta .
A módszer lényege, hogy a szakaszon lévő integrandust egy másodfokú interpolációs polinommal közelítjük, vagyis a függvény grafikonját a szakaszon egy parabolával közelítjük. A Simpson-módszer hibarendje 4 , algebrai pontossága pedig 3.
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Képlet
A Simpson-képlet egy szakaszon lévő másodfokú interpolációs polinom integrálja :
ahol , és a függvény értékei a megfelelő pontokban (a szakasz végén és a közepén).
Pontosság
Feltéve, hogy a szegmens függvényének van egy negyedik deriváltja , a hiba a Giuseppe Peano által talált képlet szerint egyenlő:
![E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433d5ee51bf8430229b9d4b9461ee9f457929dc)
Tekintettel arra, hogy az érték gyakran ismeretlen, a hiba becsléséhez a következő egyenlőtlenséget használjuk:
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\jobbra|}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0286f6a0dbc988cdd1a83b0303ac005d3e490372)
Ábrázolás a Runge-Kutta módszer formájában
A Simpson-képlet a Runge-Kutta módszer táblázataként ábrázolható a következőképpen:
Összetett képlet (Cotes formula)
Az integrál pontosabb kiszámításához az intervallumot azonos hosszúságú elemi szegmensekre osztjuk, és a Simpson-képletet alkalmazzuk az összetett szegmensekre. Minden összetett szegmens egy szomszédos elemi szegmenspárból áll. Az eredeti integrál értéke az összetett szegmenseken elért integrációs eredmények összege:
ahol a lépés mérete, és az összetett szegmensek váltakozó határai és felezőpontjai, amelyekre a Simpson-képletet alkalmazzák. Egy hasonló összetett szegmens két elemi szegmensből áll . Így, ha párhuzamot vonunk az egyszerű Simpson-képlettel, akkor ebben az esetben annak a szegmensnek a közepe lesz, amelyre a Simpson-képletet alkalmazzuk . Általában egy egységes rácshoz ezt a képletet más jelöléssel írják (a szegmens szegmensekre van osztva ) a formában
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \jobb],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d56e22c1c27c88d58eec2e54929f524d69aa1f5)
![{\displaystyle [x_{j-1},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662ade106e57ea7bf0999c9600edb80f2d5e9fa9)
![{\megjelenítési stílus [x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1999f53bbec26a0bdd09d31943eb43fb13bd5d3)
![\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c8c4e7dbfcaf9b3045745b4fd7b9240f1cae71)
Ezenkívül a képlet csak a függvény ismert értékeivel írható fel, azaz a csomópontok értékeivel:
ahol azt jelenti, hogy az index egyről kettővel egyenlő lépéssel változik.![{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\left[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f315f4a998aa231b1a8873ac449772d1907ca1)
A lépéses szegmens (ebben az esetben különösen a , ) integráció során fellépő teljes hibát a [2] képlet határozza meg :
.
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21769097e7f35df4c82f8eecbb44142061301e)
Ha a hibát a negyedik derivált maximumával nem lehet megbecsülni (például nem létezik egy adott intervallumon, vagy a végtelenbe hajlik), akkor durvább becslés is használható:
.![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a735a238d91d8943f1686a97dd9ce08a72663)
A Simpson-féle összetett képlet ellenőrzése keskeny csúcsok integrálása esetén
A Simpson-féle összetett képlet nem teljesíti a hibatesztet szűk (csúcsonként kevés pont) csúcsszerű függvények esetén, sokkal kevésbé hatékony [3] , mint a trapézszabály. Ugyanaz a hiba eléréséhez, mint a trapézszabály esetében, a Simpson-féle összetett szabály 1,8-szor több pontot igényel. A Simpson-féle összetett szabályintegrál két integrál szuperpozíciójára bontható: a trapézintegrál 2/3-a a h lépéssel és a központi téglalapszabály 1/3-a a 2h lépéssel, és a Simpson-féle összetett szabály hibája megfelel a másodiknak. kifejezést. Lehetséges a Simpson-szabály kielégítő módosítása a szabály sémáinak átlagolásával, amelyet az összegzési keret egy ponttal történő eltolásával kapunk, és a következő szabályokat kapjuk [3] :
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ − f ( x − egy ) + 12 f ( x 0 ) + 25 f ( x egy ) + 24 ∑ én = 2 n − 2 f ( x én ) + 25 f ( x n − egy ) + 12 f ( x n ) − f ( x n + egy ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\jobbra]} amelyben olyan értékeket használnak, amelyek túllépnek az integrációs intervallum határán, ill ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 24 [ 9 f ( x 0 ) + 28 f ( x egy ) + 23 f ( x 2 ) + 24 ∑ én = 3 n − 3 f ( x én ) + 23 f ( x n − 2 ) + 28 f ( x n − egy ) + 9 f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\jobbra]} amelyben az integrációs intervallumon kívüli értékek nem kerülnek felhasználásra. A második szabály alkalmazása egy hárompontos szakaszra Simpson-szabályt generál 1/3, egy 4 pontos szakaszra - 3/8.![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\jobbra]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc5347b4c60f196ec77e48ad2daaab1bc90c8fc)
amelyben olyan értékeket használnak, amelyek túllépnek az integrációs intervallum határán, ill
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
24
[
9
f
(
x
0
)
+
28
f
(
x
egy
)
+
23
f
(
x
2
)
+
24
∑
én
=
3
n
−
3
f
(
x
én
)
+
23
f
(
x
n
−
2
)
+
28
f
(
x
n
−
egy
)
+
9
f
(
x
n
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\jobbra]}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\jobbra]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d134f5a6cae73f7e38d5ffe1900ebb728c0d4ed8)
amelyben az integrációs intervallumon kívüli értékek nem kerülnek felhasználásra. A második szabály alkalmazása egy hárompontos szakaszra Simpson-szabályt generál 1/3, egy 4 pontos szakaszra - 3/8.
Ezekben a szabályokban az integrációs intervallumon belüli pontok súlya eggyel egyenlő, eltérések csak a szakasz végén figyelhetők meg. Ezek a szabályok társíthatók az Euler-Maclaurin formulával , feltéve, hogy az első deriváltot figyelembe vesszük, és elsőrendű Euler-Maclaurin szabályoknak nevezzük [3] . A szabályok közötti különbség abban rejlik, ahogy az első deriváltot az integrációs intervallum szélein számítjuk. Az integrációs szakasz szélein lévő első deriváltok különbsége figyelembe veszi a második derivált hozzájárulását a függvény integráljához. Az Euler-Maclaurin képlet a fenti elsőrendű szabályokhoz hasonlóan használható a harmadik, ötödik és magasabb rendű integrációs szabályok megalkotására.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Newton-Simpson formula (elérhetetlen link) . Letöltve: 2009. augusztus 14. Az eredetiből archiválva : 2010. május 22.
- ↑ Numerikus módszerek / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4. kiadás - M. : BINOM, Tudáslaboratórium, 2006. - S. 122. - 636 p. — ISBN 5-94774-396-5 .
- ↑ 1 2 3 Integrációs szabályok összehasonlítása nagyon keskeny kromatográfiás csúcsok esetén // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. — 2018-08-15. — Vol. 179 . — P. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .
Irodalom
- Kostomarov DP , Favorskiy AP Bevezető előadások a numerikus módszerekről . M.: Logosz, 2004. 184 p. ISBN 5-94010-286-7
- Petrov IB , Lobanov AI Számítógépes matematikai előadások. M.: Intuit, Binom, 2006. 523 p. ISBN 5-94774-542-9
| Integrálszámítás | ||
|---|---|---|
| Fő | ||
A Riemann-integrál általánosításai | ||
| Integrált transzformációk |
| |
| Numerikus integráció | ||
| mértékelmélet | ||
| Kapcsolódó témák | ||
| Integrálok listái | ||