Racionális interpoláció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A racionális interpoláció ( a racionális függvényekkel történő interpoláció ) egy interpolált függvény (pontosabban táblázatos értékek sorozata) két polinom arányaként történő megjelenítése . Számos, polinomiális módszerekkel rosszul interpolált függvény jól közelíthető egy racionális függvénnyel , amelynek számlálója és nevezője polinomja [1] . Ez különösen igaz a szabálytalan viselkedésű függvényekre [2] (a racionális interpoláció különösen alkalmas szinguláris pontokat [1] és hirtelen változásokat [2] [3] tartalmazó függvényekre ). $f(x)$

Ismert pontokból … közelítést keresünk az alakban $n$ $f(x_{1})$ $f(x_{n})$ $f(x)$

$R(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{p}x^{p}}{b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_ {q}x^{q}}}$ , és [2] . $p+q+1=n$

A és együtthatók a relációk halmazából számíthatók ki , ahol , amely így írható fel $a_{i}$ $kettős}$ $R(x_{j})=f(x_{j})$ $j=1,\ldots ,n$

$\sum _{j=0}^{p}{a_{j}x_{i}^{j}}-f(x_{i})\sum _{j=0}^{q}{ b_{j}x_{i}^{j}}=0$ , ahol [2] . $i = 1, \ldots, n$

Ezek az egyenletek ismeretlenek egyenleteiből lineáris algebrai egyenletrendszert alkotnak. Az interpoláció klasszikus problémája ennek a rendszernek a megoldására redukálódik, de egy ilyen rendszer kvalitatív és numerikus vizsgálata nehéz [4] . Ráadásul nagy számú pont mellett nehéz nagy pontossággal kiszámítani az együtthatókat - egy kis hiba is elég ahhoz, hogy a kapott racionális interpoláns ne menjen át az adott pontokon [5] . $n$ $n+1$

Explicit jelölés

Bizonyos esetekben kifejezetten felírható ( páratlan és páratlan és páros és ). Ehhez kiszámítják az úgynevezett fordított osztott különbségeket , amelyeket a feltételek határoznak meg $R(x)$ $n$ $p=q$ $n$ $pq=1$

$f^{-}(x_{l};x_{k})={\frac {x_{l}-x_{k}}{f(x_{l})-f(x_{k}) }}$

és az ismétlődési relációt

$f^{-}(x_{k};\ldots ;x_{l})={\frac {x_{l}-x_{k}}{f^{-}(x_{k+1} ;\ldots ;x_{l})-f^{-}(x_{k};\ldots ;x_{l-1})}}$ .

Ennek eredményeként az interpoláló racionális függvény folyamatos törtként kerül felírásra

$f(x)=f(x_{1})+{\frac {x-x_{1}}{f^{-}(x_{1};x_{2})+{\frac {x -x_{2}}{f^{-}(x_{1};x_{2};x_{3})+\cdots +{\frac {x-x_{n-1}}{f^{- }(x_{1};\ldots ;x_{n})}}}}}}$ .

Racionális interpolációs algoritmusok

Bulirsh-Shter algoritmus

Az egyenletrendszerrel kapcsolatos problémák megoldására Bulirsh és Shter a Neville-féle algoritmust a racionális interpoláció esetére általánosította . A Bulirsh-Shter algoritmus racionális függvényt kap a számláló és a nevező hatványaival [2] [5] . A módszer hátránya, hogy nem lehet minden ponthalmazra ilyen típusú interpolánst szerkeszteni, és az algoritmus nem biztosítja az ilyen hibák észlelését. Ez az algoritmus azonban sokáig az egyetlen elérhető racionális interpolációs módszer maradt [5] . $n/2$

Schneider-Werner algoritmus

1986- ban Schneider és Werner publikált egy tanulmányt, amelyben felvázolták racionális interpolációs algoritmusukat a racionális interpoláns baricentrikus reprezentációjával [6] . A Schneider-Werner algoritmus lehetővé teszi, hogy racionális függvényt kapjon a nevező (és a számláló ) kívánt mértékével. Az algoritmus lehetővé teszi a szinguláris pontok interpolánsának ellenőrzését is [5] . $m$ $nm$

Ezt követően Burrut továbbfejlesztette ezt az algoritmust [7] .

A Floater-Hormann algoritmus

2005 -ben Floater és Hormann egy algoritmust írt le egy racionális interpolációs függvény felépítésére, amely nagy sebességgel, stabilitással és megbízhatósággal rendelkezik [8] . Ezekben a paraméterekben a Floater-Hormann algoritmus összehasonlítható a spline interpolációval . Ebben az esetben a kapott függvénynek van egy kis közelítési hibája , a számláló és a nevező hatványai nem nagyobbak, mint , és nincs szinguláris pontja a valós tengelyen. $n$

Jegyzetek

↑ 1 2 William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. 3.2 A racionális függvényinterpoláció és extrapoláció // Numerikus receptek a C-ben . - Második kiadás. — Cambridge: Cambridge University Press. - ISBN 0-521-43108-5 . Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2009. április 30. Az eredetiből archiválva : 2010. április 1.. (határozatlan) (Angol)
↑ 1 2 3 4 5 Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. 17. § Racionális interpoláció // Számítási módszerek. — 6. kiadás. - M. : Binom, 2008. - S. 85. - 636 p. — (A tudás laboratóriuma). - 3000 példányban. — ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Efunda. mérnöki alapok. Racionális függvény interpoláció . Letöltve: 2009. április 30. Az eredetiből archiválva : 2012. március 30..
↑ Cherednichenko V. G. Racionális interpoláció, analitikus megoldás. // Sib. matematika. folyóirat, 43:1 . - Novoszibirszk, 2002. - S. 188-193.
↑ 1 2 3 4 Bochkanov Szergej, Bystritsky Vladimir. "Algoritmusok könyvtára". Racionális interpoláció (downlink) . Letöltve: 2009. április 30. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10. (Orosz)
↑ C. Schneider, W. Werner. A racionális interpoláció néhány új szempontja // Mathematics of Computation, 47. sz. (175). - 1986. - P. 285-299. (Angol)
↑ Jean-Paul Berrut, Richard Baltensperger, Hans D. Mittelmann. A baricentrikus racionális interpoláció legújabb fejleményei // International Series of Numerical Mathematics 2. évf. 151 . - Bázel: Birkhäuser, 2005. - P. 27–51. — ISBN 3-7643-7124-2 . (Angol)
↑ Michael S. Floater, Kai Hormann. Baricentrikus racionális interpoláció pólusok nélkül és magas közelítési sebességgel . - 2005. Archivált másolat (elérhetetlen link) . Letöltve: 2009. április 30. Az eredetiből archiválva : 2010. november 16.. (határozatlan) (Angol)

Lásd még

Padé közelítés