Lagrange-módszer (differenciálegyenletek)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A Lagrange-módszer (tetszőleges állandók variációjának módszere) egy olyan módszer, amellyel egy inhomogén egyenlet általános megoldását kapjuk , ismerve a homogén egyenlet általános megoldását anélkül, hogy konkrét megoldást találnánk .

Tetszőleges állandók variációs módszere lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldásának megalkotásához

Keressünk megoldást az egyenletre

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),

feltételezve, hogy a megfelelő homogén egyenletre

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)

Ismerjük a megoldást, amit így írunk

z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)

A módszer abból áll, hogy az általános megoldásban tetszőleges állandókat segédfüggvényekre cserélünk . $c_{k}$ $c_{k}(t)$

A származéka lesz írva ${\displaystyle z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n))$

z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n} z_{n}'

De emellett megköveteljük (alább látható, hogy ez nem okoz problémát).

c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0

Ily módon $z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Hasonló követelményeket bevezetve szekvenciális differenciálással (n-1) sorrendig, azt kapjuk $c_{k}'$ $z(t)$

c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0

\Jobb nyíl

{\displaystyle z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)))

És a legmagasabb származékra, ill

z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+ \;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}

Az eredeti egyenletbe való behelyettesítés és a benne lévő homogén oldat (1) redukálása után marad

a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{ n}^{(n-1)}(t)\jobbra]=f(t)

Ennek eredményeként eljutunk a

\left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&.. .&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t) &+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{ n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t )c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n }(t)\end{mátrix}}\jobbra.\qquad(2)

A (2) rendszer determinánsa a függvények Wronski -függvénye , amely biztosítja annak egyedi megoldhatóságát a vonatkozásában . $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ ${c_{k}'}$

Ha az integráció állandóinak fix értékein vett antiderivált , akkor a függvény $\widetilde {c_{k}}$ $c_{k}'$

z=z^{*}(t)=\widetilde {c_{1}}(t)z_{1}(t)+...+\widetilde {c_{n}}(t)z_{n}( t)

megoldása az eredeti lineáris inhomogén differenciálegyenletre. Egy inhomogén egyenlet integrálása a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának jelenlétében így kvadratúrákra redukálódik .

Példák

1) Egy egyenlet, különösen, amely a radioaktív bomlás törvényéből adódik

{\pont {x}}+\gamma x=f(t)

Az általános megoldás alapvetően integrált:

{\displaystyle x=c\cdot e^{-\gamma t))

A Lagrange módszert alkalmazzuk:

c'e^{-\gamma t}=f(t)

Honnan van a kívánt megoldás?

{\displaystyle x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t))

2) Harmonikus oszcillátor egyenlet

{\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)

A homogén egyenlet megoldását a formába írjuk

x=a\sin \omega t+b\cos \omega t

A (2) rendszer szerint a következőket kapjuk:

{\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega tb'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cases}}

a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)

b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)

Állítsuk vissza a megoldást:

x(t)=\left(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt \,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t

Tetszőleges állandók variációs módszere lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak megalkotásához vektor normál formában

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)

egy általános megoldás (3) megalkotásából áll a formában

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),

ahol a megfelelő, mátrixként felírt homogén egyenlet megoldásainak alapja, és a tetszőleges állandók vektorát helyettesítő vektorfüggvényt a reláció határozza meg . A kívánt konkrét megoldás (nulla kiindulási értékkel) a következő alakkal rendelkezik $Z(t)$ ${\bár {u}}$ ${\bar {u'}}(t)=Z^{{-1}}(t){\bar {f}}(t)$ $t=t_{0}$

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1 }(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .

Egy állandó együtthatójú rendszer esetén az utolsó kifejezés leegyszerűsödik:

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\ bár {f}}(\tau )d\tau .

A mátrixot az operátor Cauchy-mátrixának nevezik . $Z(t)Z^{{-1}}(\tau )$ $L=A(t)$

Linkek

exponenta.ru — Elméleti hivatkozás példákkal