Fokker-Planck egyenlet

A Fokker-Planck egyenlet az egyik parciális differenciálegyenlet, amely leírja a részecskék koordinátáinak és impulzusának valószínűségi sűrűségfüggvényének időbeli alakulását olyan folyamatokban, ahol a jelenség sztochasztikus jellege fontos . Nevét Adrian Fokker és Max Planck holland és német fizikusokról kapta , más néven Kolmogorov közvetlen egyenletét . Általánosítható más mérhető paraméterekre is: méret ( összeolvadáselméletben ), tömeg stb.

Definíció

Először használták az egyenletet a részecskék vízben történő Brown-mozgásának statisztikai leírására. Bár a Brown-mozgást a Langevin-egyenletek írják le , amelyek numerikusan megoldhatók Monte Carlo vagy molekuladinamikai módszerekkel , a probléma ebben a megfogalmazásban gyakran nehezen megoldható analitikusan. Az összetett numerikus sémák helyett pedig bevezethetünk egy valószínűségi sűrűségfüggvényt , amely leírja annak valószínűségét, hogy egy részecske sebessége van az intervallumban , ha a 0 időpontban kezdősebessége volt , és felírhatjuk a Fokker-Planck egyenletre . . $W({\mathbf {v)),\;t)$ $({\mathbf {v)),\;{\mathbf {v}}+d{\mathbf {v}})$ ${\mathbf {v}}_{0}$ $W({\mathbf {v)),\;t)$

A Fokker-Planck egyenlet általános alakja változókra: $N$

{\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{{i=1}}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_ {i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{j=1}} ^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{{ij}}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,

ahol a drift vektor és a diffúziós tenzor , és a diffúziót sztochasztikus jellegű erők okozzák. $D^{1}$ $D^{2}$

Kapcsolat sztochasztikus differenciálegyenletekkel

A Fokker-Planck egyenlet használható a valószínűségi sűrűség kiszámítására sztochasztikus differenciálegyenletekben . Tekintsük a következő sztochasztikus differenciálegyenletet

d{\mathbf {X}}_{t}={\boldsymbol {\mu }}({\mathbf {X}}_{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}( {\mathbf {X}}_{t},\;t)\,d{\mathbf {B}}_{t},

ahol a rendszer állapotfüggvénye, és a standard - dimenziós Brown-mozgás . Ha a kezdeti eloszlást így adjuk meg , akkor a rendszer állapotának valószínűségi sűrűsége a Fokker-Planck egyenlet megoldása a következő kifejezésekkel a sodródásra , illetve diffúzióra : ${\mathbf {X}}_{t}\in \mathbb{R} ^{N}$ ${\mathbf {B}}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$ $N$ ${\mathbf {X}}_{0}\sim W({\mathbf {x}}),\;0)$ $W({\mathbf {x)),\;t)$ ${\mathbf {X}}_{t}$

D_{i}^{1}({\mathbf {x)),\;t)=\mu _{i}({\mathbf {x)),\;t),

D_{{ij}}^{2}({\mathbf {x}},\;t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{{ik}}({ \mathbf {x}},\;t)\sigma _{{jk}}({\mathbf {x}}),\;t).

Példa

A standard skalár Brown -mozgásegyenletet a következő sztochasztikus differenciálegyenlet állítja elő:

{\mathrm {d}}X_{t}={\mathrm {d}}B_{t}.\

Itt a sodródási sebesség nulla, a diffúziós együttható pedig 1/2, ezért a megfelelő Fokker-Planck egyenlet így néz ki:

{\frac {\partial W(x,\;t)}{\partial t))={\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}W(x,\;t) }{\partial x^{2}}},

ez az egydimenziós diffúziós ( hőátadás ) egyenlet legegyszerűbb formája.

A Fokker-Planck egyenlet egydimenziós esetben

Egydimenziós esetben az FPP formája a következő:

{\frac {\partial f}{\partial t))=-{\frac {\partial }{\partial x))(A(x,\;t)f(x,\;t)) +{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x ,\;t)\jobbra).

Az FFP a feltételes valószínűségi sűrűségre érvényes:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),

(vagyis a függvény értéke valószínűleg a tértengely és az időtengely által alkotott síkra esik az intervallumokban és rendre) bármely kezdeti érték és és kezdeti feltétel esetén , ahol a Dirac-függvény.

f(x,\;t)

x\

t\

x-x_{0}\

t-t_{0}\

x_{0}\

t_{0}\

p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})

\delta (x-x_{0})\

Ez a feltétel azt mondja, hogy ugyanakkor a függvény ugráson megy keresztül. Ha a térbeli koordináták egyenlőek, akkor a függvény a végtelenbe hajlik. Ezért a függvény korlátossága miatt egyszeri valószínűségi sűrűség definícióját kell használni. Ekkor az FPP olyan kezdeti feltételű valószínűségre érvényes , amely kevésbé szinguláris, mint . Egy feltételes valószínűséggel leírt sztochasztikus folyamat, amely kielégíti az FPP-t, egyenértékű az Ito SDE -vel $t_{0}\$ $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t| x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ $p(x,\;t)$ $p(x,\;t)|_{{t=t_{0}}}=p(x,\;t_{0})$ $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)

és hogy a két leírást egymást kiegészítőnek kell tekinteni.

Következtetés

A Fokker-Planck egyenlet első konzisztens levezetését egzakt mikroszkópos dinamika alapján klasszikus és kvantumrendszerekre [1] N. N. Bogolyubov és N. M. Krylov [2] végezte (újra kiadva [3] ).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bogolyubov N. N. (Jr.) , Sankovich D. P. (1993). Nyikolaj Nyikolajevics Bogolyubov. Tudományos tevékenység vázlata 2016. március 4-i archív másolat a Wayback Machine -nél // Az elemi részecskék és az atommag fizikája 24 (5): 1224-1293.
↑ Bogolyubov N. N. , Krylov N. M. (1939). A Fokker-Planck egyenletekről, amelyeket a perturbációelméletben a perturbált Hamilton-féle spektrális tulajdonságain alapuló módszerrel vezetnek le // Az Ukrán SSR Tudományos Akadémia Nemlineáris Mechanikai Intézetének Matematikai Fizikai Tanszékének jegyzetei. 4 : 5-80 (ukrán) .
↑ Bogolyubov N. N. Tudományos munkák gyűjteménye 12 kötetben. - 5. kötet: Nem egyensúlyi statisztikai mechanika, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. — ISBN 5-02-034142-8 .

Irodalom

Risken H. A Fokker - Planck-egyenlet: Megoldások és alkalmazások módszerei. — 2. kiadás. - Springer, 1984. - 452 p. — ISBN 3-540-61530-X .
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Fizikai kinetika. - M .: Nauka , 1979 . — 528 p. — („Elméleti fizika”, X. kötet). — 50.000 példány.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák