Langevin egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Langevin -egyenlet egy sztochasztikus differenciálegyenlet , amely a Brown-mozgást írja le .

A Langevin által vizsgált első egyenlet a Brown-mozgást írta le állandó potenciál mellett, vagyis egy Brown-féle tömegű részecske gyorsulását a viszkózus súrlódási erő összegében fejezik ki, amely arányos a részecske sebességével ( Stokes-törvény ). , a zaj kifejezés (a fizikában a differenciálegyenletben sztochasztikus folyamatra utaló név ) - egy részecske folyadékmolekulákkal való folyamatos ütközése miatt, és - egy intramolekuláris és intermolekuláris kölcsönhatásokból eredő szisztematikus erő: $\mathbf {a}$ $m$ ${\mathbf v}$ ${\boldsymbol \eta }(t)$ ${\mathbf \Phi }({\mathbf x})$

m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t ).

Az egyenlet megoldása

Írjuk át a Langevin-egyenletet külső erők nélkül. Ráadásul az általánosság elvesztése nélkül csak az egyik koordináta jöhet számításba.

m{\ddot x}=-{\frac {1}{B}}{\pont x}+F(t)

Feltételezzük, hogy a véletlenszerű erő teljesíti a következő feltételeket:

\langle F(t)\rangle =0

\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})

ahol b valamilyen állandó, amelyet később definiálunk, a Dirac delta függvény . A szögzárójelek az időátlagolást jelölik . Ez az ún. delta-korrelált valószínűségi változó: autokorrelációs függvénye megegyezik a delta függvénnyel. Az ilyen véletlenszerű folyamatot fehér zajnak is nevezik . $\delta (t_{1}-t_{2})$

Írjuk át az egyenletet sebesség szempontjából:

{\pont v}=-\lambda v+{\frac Fm}

, ahol

\lambda ={\frac {1}{mB}}

Legyen a kezdeti pillanatban a részecske sebessége . A megoldást a következő formában keressük: , akkor a következő differenciálegyenletet kapjuk: $t=t_{0}$ $v_{0}$ $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$ $u(t)$

{\pont u}(t)=\exp(\lambda t){\frac Fm}

Ennek eredményeként megkapjuk a sebesség kívánt kifejezését:

v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m }}\exp(\lambda \tau )d\tau

Ebből két fontos kapcsolat következik:

$\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$ . Ez azt jelenti, hogy a sebesség átlagértéke idővel nullára irányul.
$\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left (1-\exp(-2\lambda t)\jobbra)$ . A sebesség átlagos négyzete az idő függvényében alakul ki . Ha feltételezzük, hogy a részecske kinetikus energiája idővel hőenergiává alakul, akkor meghatározhatjuk az együttható értékét : ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$ $b$

b=2{\frac {k_{B}T}{B}}

Az eredeti kifejezés átalakításával a következőt kaphatja:

{\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt))={\frac {2}{\lambda ))\left\langle \left({\ frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle

\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt

Honnan származik az Einstein-reláció :

D=k_{B}TB

ahol B a Brown-részecske mobilitása .

Linkek

WT Coffee, Yu. P. Kalmykov, JT Waldron, The Langevin-egyenlet, Alkalmazásokkal sztochasztikus problémákra a fizika, a kémia és az elektrotechnika területén (második kiadás), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (Az első kiadás a 10. kötet)
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill, New York, 1965. Lásd a 15.5 Langevin-egyenlet részt.