Bessel-függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Bessel-függvények a matematikában olyan függvénycsaládot alkotnak, amely a Bessel- differenciálegyenlet kanonikus megoldásai :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

ahol egy tetszőleges valós szám (általános esetben összetett), amelyet sorrendnek nevezünk . $\alpha$

A leggyakrabban használt Bessel-függvények egész számsorrendek függvényei .

Bár ugyanazokat az egyenleteket generálják, általában megegyeznek abban, hogy különböző függvények felelnek meg nekik (ezt például azért teszik meg, hogy a Bessel-függvény simán legyen -ben ). $\alpha$ $(-\alpha )$ $\alpha$

A Bessel-függvényeket először Daniel Bernoulli svájci matematikus határozta meg, és Friedrich Besselről nevezték el .

Alkalmazások

A Bessel-egyenlet akkor merül fel, amikor a Laplace- és a Helmholtz-egyenletre hengeres és gömbkoordinátákban keresünk megoldást . Ezért a Bessel-függvényeket számos hullámterjedés, statikus potenciál stb. probléma megoldására használják, például:

elektromágneses hullámok hengeres hullámvezetőben ;
hővezető képesség hengeres tárgyakban;
vékony, kerek membrán hullámformái;
a kerek lyuk által szórt fény intenzitásának eloszlása;
a részecskék sebessége egy folyadékkal töltött és a tengelye körül forgó hengerben;
hullámfüggvények gömbszimmetrikus potenciáldobozban.

A Bessel-függvényeket más problémák megoldására is használják, például a jelfeldolgozásban.

A Bessel-függvény a szinuszfüggvény általánosítása. Értelmezhető úgy, mint egy változó vastagságú, változó feszültségű (vagy mindkét feltétel egyidejű) húr rezgése; ingadozások változó tulajdonságú közegben; a lemezmembrán rezgései stb.

Definíciók

Mivel a fenti egyenlet egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet, két lineárisan független megoldással kell rendelkeznie. A körülményektől függően azonban ezeknek a döntéseknek különböző definícióit választják. Az alábbiakban ezek közül mutatunk be néhányat.

Az első típusú Bessel-függvények

Az első típusú Bessel-függvények, amelyeket jelöl , olyan megoldások, amelyek egész vagy nem negatív pontban végződnek . Egy adott függvény kiválasztását és normalizálását a tulajdonságai határozzák meg. Ezeket a függvényeket a Taylor-sor nullához közeli kiterjesztésével (vagy nem egész számok esetén általánosabb hatványsorral ) lehet meghatározni: $J_{\alpha }(x)$ $x=0$ $\alpha$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Itt van az Euler-gammafüggvény , a faktoriális általánosítása nem egész értékekre. A Bessel-függvény grafikonja hasonló egy szinuszhullámhoz , amelynek rezgései arányosan csökkennek , bár valójában a függvény nullái nem periodikusan helyezkednek el (azonban két egymást követő nulla távolsága a -ra hajlik ) [ 1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\to \infty$

Az alábbiakban a következő diagramok láthatók : $J_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Ha nem egész szám, a és függvények lineárisan függetlenek, és így megoldásai az egyenletre. De ha egy egész szám, akkor a következő összefüggés igaz: $\alpha$ $J_{\alpha }(x)$ $J_{{-\alpha }}(x)$ $\alpha$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a függvények lineárisan függőek. Ekkor az egyenlet második megoldása a második típusú Bessel-függvény lesz (lásd alább).

Bessel integrálok

Adhatunk egy másik definíciót a Bessel-függvénynek egész értékekhez az integrál reprezentáció segítségével: $\alpha$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Ezt a megközelítést Bessel használta, aki a függvények bizonyos tulajdonságainak tanulmányozására használta. Egy másik integrált ábrázolás is lehetséges:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

A Bessel-függvény integrál reprezentációjának megtalálásához nem egész számok esetén figyelembe kell venni, hogy az abszcissza tengely mentén van egy vágás. Ennek az az oka, hogy az integrandus már nem -periodikus. Így az integrációs kontúr 3 szakaszra oszlik: egy sugárra -tól -ig , ahol -ra, egy egységsugarú körre és egy -tól -ig -ig terjedő sugárra . Egyszerű matematikai transzformációk elvégzése után a következő integrálábrázolást kaphatja: $\alpha$ $2\pi$ $-\infty$ $egy$ $\phi =-\pi$ $egy$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi) )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Könnyen belátható, hogy egész számoknál ez a kifejezés átmegy az előző képletbe. $\alpha$

Neumann függvények

A Neumann-függvények a Bessel-egyenlet megoldásai, végtelen a pontban . $Y_{\alpha }(x)$ $x=0$

Ez a függvény a következő kapcsolathoz kapcsolódik: $J_{\alpha }(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

ahol egy egész szám esetén a határértéket veszik fel , amelyet például a L'Hospital szabály segítségével számítanak ki . $\alpha$ $\alpha$

A Neumann-függvényeket másodlagos Bessel-függvényeknek is nevezik. Az első és a második típusú Bessel-függvények lineáris kombinációja a Bessel-egyenlet teljes megoldása:

y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).

Az alábbiakban egy diagram a következőkhöz: $Y_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Számos könyvben a Neumann-függvényeket jelöli . $N_{\alpha}(x)$

Gömb alakú Bessel-függvények

Amikor a Helmholtz-egyenletet gömbkoordinátákban a változók elválasztásának módszerével oldjuk meg, a radiális rész egyenlete a következő formában van

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\jobbra)y=0.

Két lineárisan független megoldást j n és y n szférikus Bessel-függvénynek nevezünk , és a szokásos J n és Neumann Y n Bessel-függvényekhez kapcsolódnak a [2] használatával.

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}

y n n n vagy η n is ; egyes szerzők ezeket a függvényeket gömb Neumann-függvényeknek nevezik .

A gömb alakú Bessel-függvények úgy is felírhatók, mint ( Rayleigh-képlet ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ jobb)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\jobbra)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}

Néhány első gömb alakú Bessel-függvény [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\jobbra){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\jobbra){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\jobbra){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}

és Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\jobbra){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\jobbra){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}

Függvények generálása

Szférikus Bessel-függvények generálása [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} ( z).\end{igazított}}

Differenciális relációk

A következő képletekben f n helyettesíthető j n , y n , h karakterekkel(1)
n, h(2)
n, ahol h(1)
nés h(2)
n gömb alakú Hankel-függvények, ha n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\jobbra)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\left({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\jobbra)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\jobbra)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{igazított}}

Tulajdonságok

Ortogonalitás

Legyenek a Bessel-függvény nullái . Akkor [1] : ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $J_{\alpha}(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{mátrix}}\right.

Aszimptotika

Az aszimptotikus képletek az első és a második típusú Bessel-függvényekre ismertek . Kis és nem negatív érvekkel így néznek ki [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\jobbra \left\{{\begin{mátrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{mátrix}}\jobbra.

ahol az Euler-állandó - Mascheroni (0,5772 ...), és az Euler-gamma-függvény . Nagy argumentumoknál ( ) a képletek így néznek ki: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))- {\frac {\pi }{4}}\right),

Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))-{ \frac {\pi }{4}}\jobbra).

Az aszimptotikus bővítés következő tagjának használata lehetővé teszi az eredmény jelentős finomítását. Nullarendű Bessel-függvény esetén ez így néz ki:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi }{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4)))).

Hipergeometrikus sorozat

A Bessel-függvények a hipergeometrikus függvényekkel fejezhetők ki :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

Így egész számok esetén a Bessel-függvény egyértékű analitikus , a nem egész számok esetében pedig többértékű analitikus . $\alpha$

Függvény generálása

Az első típusú és egész rendű Bessel-függvényeknek van egy reprezentációja egy bizonyos típusú függvény Laurent-sorának együtthatóiban, nevezetesen

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Arányok

Jacobi-Anger formula és a kapcsolódó

A , [9] generáló függvény kifejezéséből kaptuk : $a=1$ $w=e^{i\phi }$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

, [9] esetében : $a=1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi ).

Ismétlődő kapcsolatok

A Bessel-függvényekhez számos ismétlődési reláció létezik. Itt van néhány közülük:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Összeadás tétel

Bármilyen n egész számra és komplexre , van [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\összeg _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Integrál kifejezések

Bármilyen és (beleértve az összetetteket is), [12] $a$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Az utolsó képlet speciális esete a kifejezés

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Zubov V. I. . Bessel-függvények . - M . : MIPT, 2007. 2016. június 24-i archivált példány a Wayback Machine -nél
↑ Abramowitz és Stegun, p. 437, 10.1.1 Archiválva : 2006. szeptember 2. a Wayback Machine -nél .
↑ Abramowitz és Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 Archiválva : 2009. december 21. a Wayback Machine -nél .
↑ Abramowitz és Stegun, p. 438, 10.1.11 Archiválva : 2009. április 30. a Wayback Machine -nél .
↑ Abramowitz és Stegun, p. 438, 10.1.12 Archiválva : 2009. április 30. a Wayback Machine -nél .
↑ Abramowitz és Stegun, p. 439, 10.1.39 Archiválva : 2009. december 21. a Wayback Machine -nél .
↑ Abramowitz és Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 Archiválva : 2019. december 22. a Wayback Machine -nél .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Matematikai módszerek fizikusok számára. 6. kiadás - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , p. tizenöt.
↑ V. S. Gavrilov et al. Bessel-függvények matematikai fizika problémákban Archiválva : 2019. november 26., a Wayback Machine -nál , 7. o.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , p. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , p. 671.

Irodalom

Watson G. A Bessel-függvények elmélete. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Bessel-függvények, parabolikus hengerfüggvények, ortogonális polinomok // Magasabb transzcendentális függvények. T. 2. 2. kiadás / Per. angolról. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 p.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. — M .: Nauka , 1973. — 736 p.