Módosított Bessel-függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A módosított Bessel - függvények egy tisztán képzeletbeli argumentum Bessel -függvényei .

Ha a Bessel - differenciálegyenletben

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

cserélje ki a következőre, akkor a következő formában jelenik meg $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Ezt az egyenletet módosított Bessel-egyenletnek nevezik .

Ha nem egész szám, akkor a Bessel-függvények és az egyenlet két lineárisan független megoldása . A funkciókat azonban gyakrabban használják $\nu$ $J_{\nu }(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(egy)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

és

I_{-\nu }(z).

Ezeket az első típusú módosított Bessel-függvényeknek vagy Infeld-függvényeknek nevezzük . Ha valós szám és z nem negatív, akkor ezek a függvények valós értékeket vesznek fel. $\nu$

$\nu$ a függvény sorrendjének nevezzük.

Funkció

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr ]}

egyenlet megoldása is . Ezt a második típusú módosított Bessel-függvénynek vagy Macdonald - függvénynek nevezik . Ez nyilvánvaló $(egy)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

és valós értékeket vesz fel, ha valós szám, és pozitív. $\nu$ $z$

Egész sorrendű függvények

Mivel az egyenlet alapvető megoldási rendszereként egészre nézve választjuk ki és hol $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(egy)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Ismétlődő relációk és differenciálási képletek

Az első típusú módosított Bessel-függvények

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

A második típusú módosított Bessel-függvények

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

A módosított Bessel-függvények Wronski- rendszere

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Integrális reprezentációk

Az első típusú módosított Bessel-függvények

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

a gamma függvény .

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

A második típusú módosított Bessel-függvények

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Aszimptotikus viselkedés

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{ z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .

Különleges eset:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Megjegyzés

Van egy klasszikus Schlömilch - sorozat a Bessel j-függvényekben [1] [2]

Lásd még

Hengeres függvények

Irodalom

Watson G. Bessel-függvények elmélete. T. 1., 2. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Magasabb transzcendentális funkciók. Bessel-függvények, parabolikus hengerfüggvények, ortogonális polinomok: Referencia matematikai könyvtár. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 p.

Jegyzetek

↑ Ljahov L.N. A Schlemilch j-sorozaton. Tudományos megállapítások. Sorozat "Matematika. Fizika". 2013. 12. szám (155). Probléma. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. A Bessel-függvények elmélete. (Könyv). fejezet XIX. Schlemilch sorai

Linkek

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Második típusú Bessel-függvény módosítása a Wolfram MathWorldnél .