Navier-Stokes egyenletek

A Navier-Stokes egyenletek parciális differenciálegyenletek rendszere , amely egy viszkózus newtoni folyadék mozgását írja le . A Navier-Stokes egyenletek a hidrodinamikában a legfontosabbak közé tartoznak, és számos természeti jelenség és műszaki probléma matematikai modellezésére használják . Henri Navier francia fizikusról és George Stokes brit matematikusról nevezték el .

Összenyomhatatlan folyadék esetén a rendszer két egyenletből áll:

A hidrodinamikában a Navier-Stokes egyenletet általában csak egy vektoros mozgásegyenletnek nevezik [1] [2] [3] [4] [5] [6] . A Navier-Stokes egyenletet először Navier (1822, összenyomhatatlan folyadék [7] ) és Poisson (1829, összenyomható folyadék [8] ) kapta meg, akik a molekuláris erők modellkoncepcióiból indultak ki. Később az egyenlet fenomenológiai levezetését Saint-Venant [9] és Stokes [10] adta meg .

A folyadék vektoros alakjában ezeket a következőképpen írják fel:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=-({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f)),

ahol a nabla operátor , a Laplace vektor operátor , az idő , a kinematikai viszkozitási együttható , a sűrűség , a nyomás , a vektor sebességmezője , a testerők vektormezeje . Az ismeretlenek és az idő és a koordináta függvényei , ahol , egy lapos vagy háromdimenziós terület, amelyben a folyadék mozog. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $p$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})$ ${\vec {f}}$ $p$ $\vec{v}$ $t$ $x\in \Omega$ $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $n=2,\;3$

Összenyomhatatlan folyadék esetén a Navier-Stokes egyenleteket ki kell egészíteni az összenyomhatatlansági egyenlettel :

\nabla \cdot {\vec {v}}=0.

Általában a Navier-Stokes egyenletrendszerhez perem- és kezdeti feltételeket adnak, például:

{\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

Néha a Navier-Stokes egyenletrendszer ezen kívül a hőegyenletet és az állapotegyenletet is tartalmazza.

Ha figyelembe vesszük a tömöríthetőséget, a Navier-Stokes egyenletek a következő alakot öltik:

\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}} \right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i))}+{\frac {\partial }{\partial x_{k))}\left\{\eta \left({\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\partial v_{l)){\partial x_{l))}\delta _{ik}\right),

ahol a dinamikus viszkozitási együttható (nyírási viszkozitás ), a „második viszkozitás ” vagy ömlesztett viszkozitás , a Kronecker-delta . Ez az egyenlet állandó viszkozitás mellett a vektoregyenletre redukálódik $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))\ right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3))\right)\nabla \operatorname {div} {\vec { v}}.

Az összenyomható folyadék folytonossági egyenlete a formát ölti

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)))=0.

Egyenletek elemzése és megoldása

Az egyenletek megoldásainak elemzése a hét „ millenniumi probléma ” egyikének esszenciája, amelyért a Clay Mathematical Institute 1 millió USD díjat ítélt oda. A háromdimenziós Navier-Stokes egyenletekre a Cauchy-probléma globális sima megoldásának létezését kell bizonyítani vagy cáfolni . A Navier-Stokes rendszer általános analitikai megoldásának megtalálását háromdimenziós vagy sík áramlásra bonyolítja, hogy nem lineáris, és erősen függ a kezdeti és peremfeltételektől.

Néhány pontos megoldás:

Álló áramlások egyszerű csatornákban ( Poiseuille áramlás , Couette-Taylor áramlás , Couette áramlás stb.).
Szolitonok és nemlineáris hullámok . Egy közönséges szoliton doboz megoldást jelent a rendszerre nagyon összetett peremfeltételek mellett. Először Scott Russell mérnök figyelte meg kísérletileg egy csatornában.
Egy véges ideig létező megoldás (az ún. "blow-up rezsimek"). Ezt a hipotézist Jean Leray terjesztette elő 1933 -ban . Felvetette, hogy a folyadékban a turbulencia ( káosz ) pontok vagy örvényszál képződése miatt jön létre, amelyen a sebesség valamely összetevője végtelenné válik.
Hang rezgések . Kis hullámamplitúdóknál ezek is megoldást jelentenek . Az egyenlet nemlineáris tagjait el lehet vetni, mivel nem befolyásolják a megoldást. A megoldás a szinusz vagy koszinusz harmonikus függvényei, vagyis a hangrezgések.

A Navier-Stokes rendszer alapvető tulajdonságai

Amikor a Reynolds-szám túllép egy bizonyos kritikus értéket, a térbeli vagy lapos áramlás analitikailag pontos megoldása kaotikus áramlási mintát (ún. turbulenciát ) ad. Egy adott esetben ez a Feigenbaum-elmélethez vagy a káoszba való átmenet más forgatókönyvéhez kapcsolódik. Ahogy a Reynolds-szám a kritikus érték alá csökken, a megoldás ismét nem kaotikus áramlási formát ad.
Kivételes érzékenység az egyenlet együtthatóinak változásaira turbulens körülmények között: ha az Re szám 0,05%-kal változik, a megoldások teljesen eltérnek egymástól.

Alkalmazás

A Navier-Stokes egyenletrendszer a hőátadás és a tömegátadás egyenleteivel , valamint a megfelelő testerőkkel kiegészítve leírhatja a konvekciót , a folyadékok hődiffúzióját , a különféle folyadékok többkomponensű keverékeinek viselkedését stb.

Ha azonban a Lorentz - erőt testerőként beépítjük az egyenletbe, és a rendszert kiegészítjük a Maxwell-egyenletekkel a folytonos közegben lévő térre, akkor a modell lehetővé teszi az elektro- és magnetohidrodinamika jelenségeinek leírását . Az ilyen modelleket különösen sikeresen alkalmazzák a plazma , a csillagközi gáz viselkedésének modellezésére .

A Navier-Stokes egyenletrendszer a geofizikai hidrodinamika alapja, beleértve a Föld köpenyében folyó áramlások leírására is („ dinamó probléma ”).

Ezenkívül a Navier-Stokes egyenlet variációit a dinamikus meteorológiában használják a légköri légtömegek mozgásának leírására, különösen az időjárás-előrejelzés kialakításakor. A valós áramlások leírására különféle műszaki eszközökben a numerikus megoldás elfogadható pontossága csak olyan számítási rács segítségével érhető el, amelynek cellái kisebbek, mint a legkisebb örvény. Ez nagyon nagy becsült időráfordítást igényel a modern számítógépeken. Ezért különféle turbulencia modelleket hoztak létre a valós áramlások kiszámításának egyszerűsítésére.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p. Archiválva : 2014. november 28. a Wayback Machine -nál
↑ Landau, Lifshitz, p. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Fluid Aeromechanika]. - M.-Izhevsk: NIC "Szabályos és kaotikus dinamika", 2000. - P. 147. - 576 p. — ISBN 5-93972-015-2 . (nem elérhető link)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Elméleti hidromechanika . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 p. Archiválva : 2014. augusztus 26. a Wayback Machine -nál
↑ Batchelor J. Bevezetés a folyadékdinamikába / Per. angolról. szerk. G. Yu. Stepanova . - M . : Mir, 1973. - S. 194. - 760 p. Archiválva : 2014. augusztus 26. a Wayback Machine -nál
↑ Navier-Stokes egyenletek - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból . Targ S. M. .
↑ Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (francia) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - Kt. 6 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 7.
↑ Poisson. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (francia) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - évf. 13 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 7.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 (francia) // Comptes rendus. - 1843. - Kt. 17 , 22. sz . _ Az eredetiből archiválva: 2013. december 7.
↑ Stokes. A mozgásban lévő folyadékok belső súrlódásának, valamint a rugalmas szilárd anyagok egyensúlyának és mozgásának elméleteiről (angol) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Kt. 8 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 7.

Irodalom

Temam R. Navier-Stokes egyenletek. Elmélet és numerikus elemzés. - 2. kiadás — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 4. kiadás, sztereotip. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Elméleti fizika ", VI. kötet).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinamika és hőátadás a párologtatás során. - 3. kiadás, Rev. - M . : Felsőiskola, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Kémiai hidrodinamika. - M. : Quantum, 1996. - 336 p. - 1500 példány.
Durmagambetov A. A. Navier-Stokes egyenletek – Millenniumi díjjal kapcsolatos problémák // Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Természettudomány. Tudományos kutatás és akadémiai kiadó. - 2015. - T. 7 , 2. sz . - S. 88-99 . - doi : 10.4236/ns.2015.72010 .

Linkek

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák