Véletlenszerű folyamat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A véletlenszerű folyamat (valószínűségi folyamat, véletlenfüggvény, sztochasztikus folyamat) a valószínűségszámításban olyan valószínűségi változók családja, amelyeket valamilyen paraméter indexel, és amelyek leggyakrabban az idő vagy a koordináta szerepét töltik be .

Definíció

Legyen egy mérhető tér , a paraméter értékeinek halmaza . Azt a paraméterfüggvényt , amelynek értékei a fázistérben lévő elemi események terének valószínűségi változói , véletlenszerű folyamatnak nevezzük a fázistérben . [egy] $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t$ $\xi =\xi (t)$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$

Terminológia

A véletlenszerű folyamatok kutatása és alkalmazott alkalmazása során alkalmazott osztályozás és terminológia nem szigorú. Különösen a „véletlenszerű folyamat” kifejezést gyakran használják a „véletlenszerű függvény” kifejezés feltétlen szinonimájaként. [2] A halmaz típusától függően a következő kifejezéseket gyakran használják. $T$

Ha , akkor a paraméter időként értelmezhető . Ekkor a véletlen függvényt véletlenszerű folyamatnak nevezzük . Ha például a halmaz diszkrét, akkor egy ilyen véletlenszerű folyamatot véletlen sorozatnak nevezünk . $T\subset \mathbb {R}$ $t\in T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subset {\mathbb {N}}$

Ha , ahol , akkor a paraméter térbeli pontként értelmezhető, majd a véletlen függvényt véletlenmezőnek nevezzük . $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $t\in T$

Alapvető információk

Az értékek összes lehetséges közös valószínűségi eloszlása : $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}), t_{1},...,t_{n}\in T$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1}) \in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B} })

véletlenszerű folyamat véges dimenziós valószínűségi eloszlásainak nevezzük . A véletlenszerű folyamatokat és az értékek felvételét a fázistérben ekvivalensnek nevezzük, ha bármely megfelelő értékre vonatkoznak , és egyenértékűek . $\xi =\xi (t)$
$\xi =\xi (t)$ $\eta =\eta (t)$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $t\in T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$

A fázistérben lévő értékekkel rendelkező minden fix paraméter függvényt véletlenszerű folyamat megvalósításának vagy pályájának nevezzük . Egy véletlenszerű folyamatot közvetlenül meghatározottnak nevezünk , ha minden elemi eredményt egy megfelelő pálya ír le a halmaz összes függvényének funkcionális terében a fázistérben lévő értékekkel ; pontosabban, ha és — az algebrát az összes lehetséges hengerhalmaz generálja , ahol és , és az értékek alakja , . Bármely véletlenszerű folyamat hozzárendelhető egy közvetlenül adott véletlenszerű folyamathoz, azonos véges dimenziós eloszlással. A véges dimenziós valószínűség-eloszlások minden konzisztens családjához ( olyan, hogy , sűrű mértékek a fázistopológiai térben ), létezik egy közvetlenül adott véletlenszerű folyamat ugyanazokkal a véges dimenziós valószínűség-eloszlással. $\omega \az \Omegában$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $t$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ $x=x(t)$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\Omega =X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)))$ ${\megjelenítési stílus \xi (t)=\xi (x,t)}$ ${\megjelenítési stílus \xi (x,t)=x(t)}$ $x\in X$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B))$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$

kovariancia függvény . Legyen egy valós vagy összetett véletlenszerű folyamat a halmazon , amelynek második momentumai vannak: . Egy véletlen folyamat értékei a Hilbert-tér elemeinek tekinthetők - az összes valószínűségi változó tere , a skaláris szorzattal $\xi =\xi (t)$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $\xi =\xi (t)$ $L^{2}(\Omega )$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

Egy ilyen véletlenszerű folyamat legfontosabb jellemzője a matematikai elvárás $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

és kovarianciafüggvény

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

A kovarianciafüggvény helyett használható a korrelációs függvény , amely a nulla matematikai elvárású folyamat kovarianciafüggvénye. Ha az argumentumok ( ) egyenlőek, akkor a korrelációs függvény egyenlő a véletlenszerű folyamat varianciájával $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ ${\megjelenítési stílus \xi (t)-A(t)}$
$s=t$

B(s,s)=E(\xi(s)-A(s))({\overline {\xi(s)-A(s))))=D(s)

Két változó függvénye, és egy véletlenszerű folyamat kovarianciafüggvénye , akkor és csak akkor, ha mindenre kielégíti a következő pozitív meghatározottsági feltételt: $B(s,t)$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $n=1,2,...$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

bármely komplex számra . $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n))$

Osztályozás

Egy véletlenszerű folyamatot időben diszkrét folyamatnak nevezünk , ha a rendszer, amelyben áramlik, csak időnként változtatja állapotait , amelyek száma véges vagy megszámlálható. A véletlenszerű folyamatot folyamatos idejű folyamatnak nevezzük , ha az állapotból állapotba való átmenet bármikor megtörténhet. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\lpontok$
A véletlenszerű folyamatot folytonos állapotú folyamatnak nevezzük , ha a véletlenszerű folyamat értéke egy folytonos valószínűségi változó. A véletlenszerű folyamatot diszkrét állapotú véletlenszerű folyamatnak nevezzük , ha a véletlenszerű folyamat értéke egy diszkrét valószínűségi változó:
Egy véletlenszerű folyamatot stacionáriusnak nevezünk, ha az összes többdimenziós eloszlási törvény csak az időpillanatok relatív helyzetétől függ , de nem ezeknek a mennyiségeknek az értékétől. Más szóval, egy véletlenszerű folyamatot stacionáriusnak nevezünk, ha valószínűségi mintázata időben változatlan. Ellenkező esetben nem-stacionáriusnak nevezzük . $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$
Egy véletlen függvényt tág értelemben stacionáriusnak nevezünk , ha matematikai elvárása és varianciája állandó, és az ACF csak azon időpontok különbségétől függ, amelyekre a véletlen függvény ordinátáit felvesszük. A koncepciót A. Ya. Khinchin vezette be .
Véletlenszerű folyamatnak nevezzük egy bizonyos sorrendű stacionárius növekményű folyamatot, ha egy ilyen növekmény valószínűségi mintázata időben változatlan. Ilyen folyamatokkal foglalkozott Yaglom [3] .
Ha egy véletlen függvény ordinátái engedelmeskednek a normális eloszlás törvényének , akkor magát a függvényt normálisnak nevezzük .
Véletlenszerű függvények, amelyek ordinátáinak eloszlási törvényét egy jövőbeli időpillanatban teljes mértékben meghatározza a folyamat jelenlegi ordinátájának értéke, és nem függ a folyamat ordinátáinak értékétől a korábbi időpillanatokban Markovnak hívják .
A véletlenszerű folyamatot független növekményű folyamatnak nevezzük , ha bármely halmazhoz , ahol , a , a valószínűségi változók , , , egymástól függetlenek. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\lpontok <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Ha egy stacionárius véletlenfolyamat momentumfüggvényeinek meghatározásakor a statisztikai együttesen végzett átlagolási művelet időbeli átlagolással helyettesíthető, akkor az ilyen stacionárius véletlenszerű folyamatot ergodikusnak nevezzük .
A véletlenszerű folyamatok között megkülönböztetünk impulzus véletlenszerű folyamatokat .
Egy elágazó véletlenszerű folyamat leírhatja az objektumok reprodukálásával, felosztásával vagy átalakításával kapcsolatos jelenségeket.

Példák

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , ahol szabványos Gauss-féle (normál) véletlen sorozatnak nevezzük. $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1)$
Legyen , és egy valószínűségi változó. Akkor $f\colon {\mathbb {R}}\ to {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

egy véletlenszerű folyamat.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. Valószínűségszámítás (Alapfogalmak. Határtételek. Véletlenszerű folyamatok) - M .: Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, Nauka Kiadó, 1973. - 496 oldal.
↑ Véletlenszerű függvény . www.booksite.ru _ Letöltve: 2021. augusztus 20. (határozatlan)
↑ Yaglom A. M. Véletlenszerű stacionárius paraméteres növekményekkel végzett folyamatok korrelációs elmélete // Matematikai gyűjtemény. T. 37. szám. 1. S. 141-197. – 1955.

Irodalom

Sveshnikov AA A véletlenfüggvények elméletének alkalmazott módszerei. - A fizikai és matematikai irodalom főszerkesztője, 1968.
Baskakov S.I. Rádió/műszaki áramkörök és jelek. - Felsőiskola, 2000.
Natan A. A. , Gorbacsov O. G., Guz S. A. A véletlenszerű folyamatok elméletének alapjai : tankönyv. kézikönyv a "Véletlenszerű folyamatok" kurzushoz - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 p. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Véletlenszerű folyamatok elmélete és mérnöki alkalmazásai. - M. : Nauka, 1991. - 384 p. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Véletlenszerű folyamatok mérési módszerei. - M . : Rádió és kommunikáció, 1986. - 272 p.
Ralph dec. Véletlenszerű folyamatok nemlineáris transzformációi. - M . : Szovjet rádió, 19656. - 206 p.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 GND : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285