Dirichlet-elv (matematikai fizika)

A matematikai fizikában a Dirichlet-elv a potenciálelméletre vonatkozik, és a következőképpen fogalmazódik meg: ha az u ( x ) függvény megoldása a Poisson-egyenletre :

\Delta u+f=0

egy olyan tartományban , amelynek határfeltétele a határon , akkor u található a variációs probléma megoldásaként : keresse meg a minimumot $\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$ $u=g$ $\Omega$

E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm { d}x

minden kétszer differenciálható függvény között úgy, hogy a határon . $v$ $v=g$ $\Omega$

Ezt az állítást Dirichlet német matematikus fogalmazta meg (de nem bizonyította) . Karl Weierstrass megmutatta, hogy Dirichlet elve bizonyos helyzetekben téves; később alkalmazásának feltételeit Bernhard Riemann , Henri Poincaré , David Hilbert és más matematikusok határozták meg.

Irodalom

Berdicsevszkij VL A kontinuummechanika variációs elvei. — M.: Nauka, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7 .
Mikhlin SG Variációs módszerek a matematikai fizika problémáinak megoldására . UMN 5:6(40) (1950), 3-51.
Petrova S.S. A Dirichlet-elvről // A természettudományok története és módszertana. - M. : MGU, 1966. - Szám. 5 . - S. 200-218 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Dirichlet's Principle (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .