A formalizmus a matematika filozófiájának egyik megközelítése, amely a matematika alapjainak problémáját a formális rendszerek tanulmányozására próbálja redukálni . A XX. században a logicizmus és az intuicionizmus mellett a fundamentalizmus egyik irányának számított a matematikafilozófiában.
A formalizmus a 20. század elején jelent meg a Hilbert matematikai iskolában annak a kísérletnek a részeként, amely a matematika különböző területeinek szigorú indoklását egyetlen rendszerbe kívánja egyesíteni. Hilbert munkatársai (tanítványai) fejlesztették ki Ackerman , P. Bernays , von Neumann .
A logicizmussal ellentétben a formalizmus nem állította azt, hogy olyan formális elméletet építsen fel, amely egységes az egész matematikára, például a halmazelméletre vagy a típuselméletre . Az intuicionizmussal ellentétben a formalizmus nem utasította el az intuíció szempontjából "kétes" alapokkal rendelkező elméletek felépítését, feltéve, hogy azokban szigorúan alátámasztják a tételek levezetésének szabályait. A formalisták úgy vélték, hogy a matematikának a lehető legtöbb formális rendszert kell tanulmányoznia.
A klasszikus logika alapján felépített formális axiomatikus elméleteket csak akkor van értelme megvizsgálni, ha nincs bennük ellentmondás , mert ellenkező esetben az elmélet bármely megítélése „bizonyítottnak” bizonyul. Ha egy ilyen formális rendszerben be lehet bizonyítani egy logikai hazugságot , akkor az inkonzisztens és „elutasított”, ami leértékeli a rendszer keretein belül bizonyított tételeket. Természetesen a matematikusokat foglalkoztatta az a kérdés, hogy lehetséges-e valahogy bizonyítani az elmélet következetességét . A formalisták bosszúságára kiderült, hogy egy elmélet következetlenségének kérdésére a matematikában használt formális rendszereken belül sincs megfelelő megoldás .
Semmi sem akadályozza meg egy formális elmélet tanulmányozását egy másik segítségével; ezt a megközelítést metamatematikainak nevezik . Azonban arra kényszerít bennünket, hogy a legmegbízhatóbb alapokat használjuk a metaelméletek felépítéséhez, amelyeket a formalisták ismét a klasszikus logikának és a formális aritmetikának tekintettek .
A XX. század 90-es éveinek eleje óta a formalizmus iránti érdeklődés (alkalmazottabb értelemben) az automatikus tételbizonyítás problémái kapcsán ismét megnőtt (lásd például a QED kiáltványt ).