Az integrál operátor kernelje

Egy integrál operátor kernelje ( Fredholm kernel [1] ) két argumentum függvénye , amely egy bizonyos integrál operátort az egyenlőséggel határoz meg $K(x,\;y)$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

ahol egy térköz a mértékkel , és a függvények valamely területén definiált teréhez tartozik . $x\in \mathbb {X}$ $d\mu(x)$ $\varphi(x)$ $\mathbb{X}$

Példák

A rendszermagot -kernelnek nevezzük , ha megfelel a következő feltételnek: $K(x,\;y)$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

ahol egy mérhető függvény . $K(x,\;y)$ $D$

Az ilyen magok az integrálegyenletek elméletének fő szempontjai .

A feltételnek megfelelő kernel:

K(x,\;y)\equiv 0

nál nél

y>x

Volterra magjának nevezett .

A szimmetrikus kernel olyan kernel, amelyre az identitás vonatkozik . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Ha az azonosság teljesül , hol van a komplex konjugátuma , akkor egy ilyen kernelt Hermitian - nak neveznek . $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x)))$ $K(x,\;y)$
Ha a kernel engedélyezi az űrlap felbomlását: $K(x,\;y)$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

ahol két lineárisan független négyzetbe integrálható függvényrendszer ( -függvények) van, az ilyen rendszermagot Pinkerle - Goursat kernelnek vagy PG-kernelnek nevezik . ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\))$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ $L_{2}$

Kapcsolódó definíciók

Az atommag spektruma a sajátértékeinek halmaza .

Mercer-tétel

Mercer kernel dekompozíciós tétele kimondja:

Ha a szimmetrikus kernel folytonos és csak pozitív sajátértékekkel rendelkezik (vagy legfeljebb véges számú negatív sajátértékkel) , akkor a következő ábrázolás érvényes: $L_{2}$ $K(x,\;y)$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

ahol a -függvények ortogonális rendszere . A sorozat abszolút és egységesen konvergál . $\{\varphi _{k}(x)\}$ $L_{2}$

Irodalom

Trikomi F. Integrálegyenletek. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1960. - 300 p.
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Integrálegyenletek kézikönyve. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 p. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Integrálegyenletek kézikönyve: Pontos megoldások. - M . : Factorial, 1998. - 432 p. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Jegyzetek

↑ Mathematical Encyclopedia / Szerk. I. M. Vinogradova. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 p.