Karakterszám (integrálegyenletek)

Egy integrálegyenlet magjának karakterisztikus száma az a komplex érték , amelynél a második típusú Fredholm homogén integrálegyenlet $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

van egy nem triviális (azaz nem azonos nulla) megoldása , amit sajátfüggvénynek nevezünk . Itt van a régió , az integrálegyenlet magja . A karakterisztikus számok az integrál operátor sajátértékeinek reciprokjai a kernellel [1] . Azokat az értékeket , amelyek nem jellemző számok, szabályosnak nevezzük . Ha szabályos érték, a második típusú Fredholm-integrál egyenlet $\varphi(x)$ $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

egyedi megoldással rendelkezik bármely szabad időtartamra ; a karakterisztikus számok "szinguláris pontok", amelyekben nincs megoldás, vagy a szabad tagtól függően végtelen sok megoldás létezik [2] . $f(x)$ $f(x)$

Tulajdonságok

A folyamatos kernel karakterisztikus számai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

A karakterisztikus számok halmaza megszámlálható és nincs véges határpontja .
Egy karakterisztikus szám többszöröse a neki megfelelő lineárisan független sajátfüggvények száma. Minden karakterisztikus szám többszöröse véges.
Az első két tulajdonságból következik, hogy a jellemző számok modulusuk növekvő sorrendjében számozhatók :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\dots,

miközben a számot annyiszor ismételjük , ahányszor a többszöröse. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \dots$ mind az egyesülési mag jellemző számai . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Ha és , , azaz és a kernelek sajátfüggvényei , akkor a sajátfüggvények ortogonálisak a térben . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
Az ismétlődő rendszermag jellemző számokkal és ugyanazokkal a sajátfüggvényekkel rendelkezik, mint a kernelnek . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
Ezzel szemben, ha a és az ismétlődő kernel karakterisztikus száma és a megfelelő sajátfüggvénye , akkor az egyenletnek legalább az egyik gyöke a kernel karakterisztikus száma [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \pontok, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
A hermitikus folytonos kernel karakterisztikus számkészlete nem üres, és a valós tengelyen helyezkedik el , a sajátfüggvények rendszere választható ortonormálisnak [4] .
A karakterisztikus számok egybeesnek az oldószer pólusaival [2] .
A degenerált kernelnek véges számú karakterisztikus száma van [5] .
A Volterra folytonos kernelének nincsenek jellemző számai [6] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vladimirov V.S. A matematikai fizika egyenletei, 1981 , p. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Integrálegyenletek, 1975 , p. 35.
↑ Vladimirov V. S. A matematikai fizika egyenletei, 1981 , IV. fejezet, 18. §, 4. o.
↑ Vladimirov V.S. A matematikai fizika egyenletei, 1981 , p. 306.
↑ Vladimirov V.S. A matematikai fizika egyenletei, 1981 , p. 292.
↑ Vladimirov V.S. A matematikai fizika egyenletei, 1981 , p. 280.

Irodalom

Vladimirov VS A matematikai fizika egyenletei. - Szerk. 4. - M . : Tudomány, ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1981. - 512 p.
Krasznov M. L. Integrálegyenletek. (Bevezetés az elméletbe). - M . : Tudomány, ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Integrálegyenletek kézikönyve: Megoldási módszerek. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .