A teljes lineáris csoport (néha az általános lineáris csoport kifejezést használják ) két különböző (bár szorosan összefüggő) fogalomra utal.
Egy V vektortér teljes lineáris csoportja a C : V → V alakú invertálható lineáris operátorok csoportja [1] . A csoportművelet szerepét a szokásos lineáris operátorok összetétele tölti be.
Általában GL( V ) -nek jelölik .
Az n rendű teljes lineáris csoport az n rendű invertálható mátrixok csoportja (azaz n sorból és n oszlopból álló négyzetmátrixok) [2] . A csoportművelet szerepét a szokásos mátrixszorzás tölti be.
Általában GL( n ) [3] jelöléssel . Ha kifejezetten meg kell jelölni, hogy a mátrixelemek melyik mezőbe (vagy általánosabb esetben kommutatív gyűrűbe ) K tartozzanak, akkor írjuk: GL( n , K ) [4] vagy GL n ( K ) .
Tehát, ha a valós számok feletti mátrixokat vesszük figyelembe, akkor az n rendű teljes lineáris csoportot GL( n , R ) jelöli , ha pedig komplex számok felett , akkor GL( n , C ) .
Valójában mindkét fogalom szorosan összefügg. Először is, egy n rendű négyzetmátrixot tekinthetünk lineáris operátornak, amely egy K n aritmetikai vektortérre (vagyis a K -ból származó elemeket tartalmazó n dimenziós oszlopok terére) hat . Ezért GL( n , R ) = GL( R n ) és GL( n , C ) = GL( C n ) .
Másodszor, egy bázis bevezetése egy n -dimenziós V vektortérbe egy K skalármező felett lehetővé teszi a C : V → V lineáris operátor egy az egyhez való megfeleltetését a mátrixával , egy n rendű négyzetmátrixszal a komponensekből. a C operátor ezen az alapon. Ebben az esetben az invertálható operátor egy nem szinguláris mátrixnak fog megfelelni , és egy-egy megfelelést kapunk a GL( V ) és GL( n , K ) csoportok között (ez a megfeleltetés valójában ezeknek a csoportoknak az izomorfizmusa ).
Ha V vektortér egy K skalármező felett , akkor az V tér teljes lineáris csoportja a V tér összes automorfizmusának csoportja . A GL( V ) csoportot és alcsoportjait lineáris csoportoknak nevezzük .
A GL( n , K ) általános lineáris csoportban kiemelhetünk egy SL( n , K ) alcsoportot, amely minden 1-gyel egyenlő determinánsú mátrixból áll. Ez egy speciális n rendű lineáris csoport , amelyet SL ( n , K ) jelölünk. ) .
A GL( n , K ) csoport további fontos alcsoportjai :
A GL( n , K ) csoportot és alcsoportjait gyakran mátrixcsoportoknak nevezik (megjegyzendő, hogy lineáris csoportoknak is nevezhetjük , de a GL( V ) csoport lineáris, de nem mátrix).
A GL( n , R ) csoport alcsoportjai különösen az SL ( n , R ) speciális lineáris csoport , az O( n ) ortogonális csoport , az SO( n ) speciális ortogonális csoport stb.
A GL( n , C ) csoport alcsoportjai az SL ( n , C ) speciális lineáris csoport , az U( n ) unitárius csoport , az n rendű SU( n ) speciális unitárius csoport stb.
A GL( n , R ) és GL( n , C ) teljes lineáris csoportok ( valamint az előző két bekezdésben felsorolt fő alcsoportjaik) [5] Lie csoportok . Ezek a csoportok fontosak a csoportreprezentációs elméletben ; a különféle szimmetriák tanulmányozása során is felmerülnek .
Figyeljük meg azt is, hogy n = 1 esetén a GL( n , K ) csoport valójában a K mező nullától eltérő skalárjainak (K * , •) csoportjára redukálódik ( mindkét csoport kanonikusan izomorf ) , ezért Abel -féle (kommutatív). Ha n nagyobb, mint 1, a GL( n , K ) csoportok nem Abel-féleek.
| Csoportelmélet | |
|---|---|
| Alapfogalmak | |
| Algebrai tulajdonságok | |
| véges csoportok |
|
| Topológiai csoportok | |
| Algoritmusok csoportokon | |