Jordan mátrix

A Jordan mátrix egy négyzet alakú blokk-átlós mátrix a mező felett , formájú blokkokkal $\mathbb {K}$

J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots & \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Minden blokkot Jordan-cellának neveznek sajátértékkel ( a különböző blokkok sajátértékei általában azonosak lehetnek). $J_{\lambda}$ $\lambda$

A Jordan normálforma tétele szerint egy algebrailag zárt mező feletti tetszőleges négyzetmátrixhoz (például a komplex számok mezeje ) létezik egy nem degenerált (vagyis invertálható, nem nulla determinánssal rendelkező) négyzetmátrix . , oly módon, hogy $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ $\mathbb {K}$

J=C^{{-1}}A\,C

egy Jordan mátrix. Ezt a mátrix Jordan alakjának (vagy Jordan normál alakjának ) nevezik . Ebben az esetben a mező Jordan-mátrixáról azt is mondjuk, hogy hasonló (vagy konjugált ) az adott mátrixhoz . És fordítva, az ekvivalens reláció miatt $J$ $A$ $J$ $\mathbb {K}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

a mátrix terepen hasonló a mátrixhoz . Könnyen kimutatható, hogy az így bevezetett hasonlósági reláció egy ekvivalenciareláció , és egy adott mező felett egy adott sorrendű összes négyzetmátrix halmazát diszjunkt ekvivalenciaosztályokra osztja. A mátrix Jordan formája nincs egyértelműen meghatározva, de a Jordan-sejtek sorrendjéig. Pontosabban, két Jordan-mátrix akkor és csak akkor hasonló, ha ugyanazon Jordan-cellákból állnak, és csak abban különböznek egymástól, hogy ezek a cellák a főátlón elhelyezkednek. $A$ $\mathbb {K}$ $J$ $\mathbb {K}$

Tulajdonságok

A mátrix Jordan alakjában a sajátértékkel rendelkező Jordan cellák száma a következő képlettel számítható ki $n$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda )=\operátornév {rang}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operátornév {rang}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operátornév {rang}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

ahol az azonossági mátrix ugyanolyan sorrendben van, mint a , a szimbólum a mátrix rangját jelöli , és definíció szerint egyenlő a sorrendjével . A fenti képlet az egyenlőségből következik

én

A

\operátornév {rang}

\operátornév {rang}(A-\lambda I)^{0}

A

\operátornév {rang}(A-\lambda I)=\operátornév {rang}(J-\lambda I).

Ha a mező nem algebrailag zárt , ahhoz, hogy a mátrix hasonló legyen valamely Jordan-mátrixhoz, szükséges és elegendő, hogy a mező tartalmazza a mátrix karakterisztikus polinomjának összes gyökét . $\mathbb {K}$ $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $A$
A hermitiánus mátrixban minden Jordan-sejt 1-es méretű.
Egy lineáris operátor mátrixa a kanonikus bázisban.
Két hasonló mátrix Jordan-formái a cellák sorrendjéig egybeesnek.

Történelem

Jordan volt az egyik első, aki fontolóra vette a mátrix ilyen formáját .

Változatok és általánosítások

A valós számok területén a mátrix sajátértékei (vagyis a karakterisztikus polinom gyökei) lehetnek valósak és összetettek is, és a komplex sajátértékek, ha vannak, párban vannak jelen a komplex konjugátumaikkal együtt: , ahol és valós számok, . A valós térben egy ilyen komplex sajátérték-pár a blokknak felel meg , és a fenti típusú Jordan-mátrixokhoz hozzáadódnak a komplex sajátérték-pároknak megfelelő formájú blokkokat is tartalmazó mátrixok: [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda _{{1,2)))$ $J_{{\lambda _{{1,2)))$

J_{{\lambda _{{1,2}}}}=\left({\begin{array}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots\0&0&0&0 \0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\d dots \vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\beta &-pha &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).

A Jordan normálforma tétel a véges generált modulok fő ideális tartományok feletti szerkezetére vonatkozó tétel speciális esete . Valójában a mátrixok osztályozása megfelel a lineáris operátorok osztályozásának, és a rögzített lineáris operátorral rendelkező mező feletti vektorterek bijektíven megfelelnek a polinomgyűrű feletti moduloknak (a vektor szorzata a lineáris operátor alkalmazásaként történik). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$ $x$

A Jordan normálalak mellett számos más típusú mátrix normálalak is számításba jön (például a Frobenius normálalak ). Ezeket különösen akkor veszik figyelembe, ha a talajmező nem tartalmazza az adott mátrix karakterisztikus polinomjának összes gyökét.

Lásd még

Weir kanonikus formája

Jegyzetek

↑ Faddeev D.K. Előadások az algebráról. Moszkva: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Mátrixanalízis. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Irodalom

Halmos P. Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . — M .: Nauka, 1966. — 576 p.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Mátrix elemzés. — M .: Mir, 1989, 655 p., ill. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról, Moszkva: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Előadások az algebráról. Moszkva: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.
Kim, G. D. Lineáris algebra és analitikus geometria, Moszkva, 2005.
V. V. Kolybasova, N. Ch. Krutitskaya, A. V. Ovchinnikov. Jordan form operátor mátrix
P. Aluffi. Algebra: 0. fejezet (Matematika diploma). - Amerikai Matematikai Társaság, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .