Elemi mátrix transzformációk |
---|
Az elemi mátrixtranszformációk azok a mátrixtranszformációk , amelyek megőrzik a mátrixok ekvivalenciáját . Így az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrix által képviselt lineáris algebrai egyenletrendszer megoldási halmazát.
A Gauss-módszerben elemi transzformációkat használnak a mátrix háromszög vagy lépcsős formára való redukálására .
Az elemi karakterlánc-transzformációkat nevezzük:
Egyes lineáris algebrai kurzusokban a mátrixsorok permutációját nem különböztetjük meg külön elemi transzformációként, mivel bármely két mátrixsor permutációja megkapható a mátrix bármely sorának konstanssal való szorzásával és bármely sorhoz hozzáadásával. a mátrix egy másik sora szorozva a konstanssal , .
Az elemi oszloptranszformációkat hasonlóan definiáljuk .
Az elemi transzformációk reverzibilisek .
A jelölés azt jelzi, hogy a mátrix elemi transzformációkkal nyerhető (vagy fordítva).
Tétel ( a ranginvarianciáról elemi transzformációknál). Ha , akkor . |
Tétel (az egyenletrendszerek ekvivalenciájáról elemi transzformációk alatt). Az eredeti rendszer feletti elemi transzformációkkal kapott lineáris algebrai egyenletrendszer ekvivalens vele. |
Tétel (az inverz mátrix megtalálásáról). Legyen a mátrix determinánsa nem nulla, legyen a mátrix definiálva a kifejezéssel . Ezután a mátrix sorainak elemi transzformációjával az összetétel identitásmátrixává a transzformáció egyidejűleg megy végbe . |
Cikk megtekintése: Lépcsőzetes nézet sorok szerint
Bemutatjuk a lépésmátrixok fogalmát: A mátrixnak lépcsőzetes alakja van, ha:Tétel (a mátrixok lépcsőzetes formára redukálásáról). Bármely mátrix csak sorok feletti elemi transzformációval redukálható lépcsős formává. |
Elemi mátrix. Egy A mátrix elemi, ha egy tetszőleges B mátrix szorzata vele elemi sortranszformációhoz vezet a B mátrixban.