Elemi mátrix transzformációk

Elemi mátrix transzformációk

Az elemi mátrixtranszformációk azok a mátrixtranszformációk , amelyek megőrzik a mátrixok ekvivalenciáját . Így az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrix által képviselt lineáris algebrai egyenletrendszer megoldási halmazát.

A Gauss-módszerben elemi transzformációkat használnak a mátrix háromszög vagy lépcsős formára való redukálására .

Definíció

Az elemi karakterlánc-transzformációkat nevezzük:

a mátrix bármely két sorának permutációja;
a mátrix bármely sorának szorzata a , konstanssal , miközben a mátrix determinánsa k - szorosára nő; $k$ $k\neq 0$
összeadás egy másik sor mátrixának bármely sorához, megszorozva valamilyen konstanssal.

Egyes lineáris algebrai kurzusokban a mátrixsorok permutációját nem különböztetjük meg külön elemi transzformációként, mivel bármely két mátrixsor permutációja megkapható a mátrix bármely sorának konstanssal való szorzásával és bármely sorhoz hozzáadásával. a mátrix egy másik sora szorozva a konstanssal , . $k$ $k\neq 0$ $k$ $k\neq 0$

Az elemi oszloptranszformációkat hasonlóan definiáljuk .

Az elemi transzformációk reverzibilisek .

A jelölés azt jelzi, hogy a mátrix elemi transzformációkkal nyerhető (vagy fordítva). $A\sim B$ $A$ $B$

Tulajdonságok

Rang invariancia elemi transzformációk alatt

Tétel ( a ranginvarianciáról elemi transzformációknál).
Ha , akkor .

A\sim B

\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B

Az SLAE ekvivalenciája elemi transzformációk alatt

Nevezzük az elemi transzformációkat a lineáris algebrai egyenletrendszeren keresztül :

egyenletek permutációja;
egy egyenletet megszorozunk egy nem nulla állandóval;
az egyik egyenlet összeadása a másikkal, megszorozva valamilyen állandóval.

Azaz elemi transzformációk a kiterjesztett mátrixa felett. Akkor igaz a következő állítás:

Tétel (az egyenletrendszerek ekvivalenciájáról elemi transzformációk alatt).
Az eredeti rendszer feletti elemi transzformációkkal kapott lineáris algebrai egyenletrendszer ekvivalens vele.

Emlékezzünk vissza, hogy két rendszert ekvivalensnek mondunk, ha a megoldáskészletük megegyezik.

Inverz mátrixok keresése

Tétel (az inverz mátrix megtalálásáról).
Legyen a mátrix determinánsa nem nulla, legyen a mátrix definiálva a kifejezéssel . Ezután a mátrix sorainak elemi transzformációjával az összetétel identitásmátrixává a transzformáció egyidejűleg megy végbe .

A_{{n\times n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\times 2n))

A

E

B

E

A^{{-1}}

A mátrixok redukciója lépcsőzetes formára

Cikk megtekintése: Lépcsőzetes nézet sorok szerint

Bemutatjuk a lépésmátrixok fogalmát: A mátrixnak lépcsőzetes alakja van, ha:

A

A mátrix minden nulla sora az utolsó; $A$
A mátrix bármely nullától eltérő sorára (legyen a határozottság érdekében annak száma ) igaz: ha a sor első nem nulla eleme , akkor . $A$ $k$ $a_{kj}$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Akkor igaz a következő állítás:

Tétel (a mátrixok lépcsőzetes formára redukálásáról).
Bármely mátrix csak sorok feletti elemi transzformációval redukálható lépcsős formává.

Kapcsolódó definíciók

Elemi mátrix. Egy A mátrix elemi, ha egy tetszőleges B mátrix szorzata vele elemi sortranszformációhoz vezet a B mátrixban.

Irodalom

Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra: Tankönyv középiskoláknak . - 6. kiadás, törölve. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 p.