Lineáris differenciálegyenletrendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2015. június 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A lineáris differenciálegyenlet-rendszer (SLDE) olyan közönséges differenciálegyenlet-rendszer, amely lineáris az összes kívánt függvény és minden rendű deriváltja tekintetében. Egy ilyen rendszer átalakítható a kanonikus forma elsőrendű lineáris rendszerévé, amelyet általában SLDE-ként definiálnak. $y_{i}(x)$

Definíció

Ha van derivált a differenciálegyenletrendszerben , akkor hozzáadhat egy új kívánt függvényt , amelyet egy új lineáris egyenlet határoz meg . A fennmaradó egyenletek becserélésével a derivált kizárásra kerül a rendszerből. Ezen műveletek szekvenciális végrehajtása egy lineáris rendszer esetében egy elsőrendű lineáris rendszerhez vezet. Lineáris rendszerben minden derivált helyettesítéssel kiküszöbölhető az egyenletekből egy kivételével. Ezért a lineáris differenciálegyenlet-rendszert általában [1] alakú rendszerként határozzák meg. $n$ $y_{i}^{(k+1)},k>0$ $y_{{n+1}}$ $y_{i}^{(k)}=y_{n+1}$ $y_{i}^{(k+1)}=y_{n+1}'$ ${\displaystyle y_{i}^{(k+1)))$

y'_{j}=\sum _{k=1}^{n}{p_{jk}(x)y_{k}}+f_{j}(x),j=1,2, \pontok ,n

Lineáris differenciálegyenlet

Adott egy lineáris differenciálegyenlet $n$

y_{0}^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{0}^{(k)))+f_{ j}(x)

akkor a fent leírt módszerrel a következő formájú egyenletrendszerré alakítható $n$

{\begin{cases}y'_{0}=y_{1}\\y'_{1}=y_{2}\\\cdots \\y'_{n-2}=y_{ n-1}\\y'_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{k}}+f_{j}(x) \end{cases}}

Megoldás SLDU

Egy homogén SLDE általános megoldását úgy kapjuk meg, hogy az összeset nullával egyenlővé tesszük a képletekkel $f_{j}(x)$

{\displaystyle y_{j}=\sum _{k=1}^{n}{C_{k}y_{jk}(x)))

ahol egy homogén rendszer lineárisan független parciális megoldásai vannak, vagyis olyan, hogy a determináns legalább egy pontban van. Állandó együtthatók esetén a homogén rendszer sajátos megoldásait kell keresni a formában ${\displaystyle y_{j1},y_{j2},\dots ,y_{jn))$ $||y(x)_{ij}||\neq 0$ ${\displaystyle p(x)_{jk}=a_{jk))$

y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\pontok +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}x}

ahol a bizonytalan együtthatók, ott vannak a karakterisztikus egyenlet gyökerei ${\displaystyle A_{js))$ $\lambda _{j}$

{\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0

és ezeknek a gyökereknek a sokasága. Az összes lehetséges eset teljes elemzése a lineáris algebra módszereivel történik . Az SLDE konstans együtthatókkal való megoldásához műveleti számítási módszereket is használnak . ${\displaystyle n_{k))$

Jegyzetek

↑ Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : "Baglyok. enciklopédia" , 1988. - S. 316 .

Irodalom

Stepanov V. V., A differenciálegyenletek menete, 9. kiadás, M., 1966
Pontryagin L.S., Közönséges differenciálegyenletek, 4. kiadás, M., 1974.