Jacobi

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A jakobi ( Jakobi- determináns , funkcionális determináns ) egy változó függvénye deriváltjának bizonyos általánosítása az euklideszi térből önmagába való leképezés esetére.

A Jacobi -mátrix a leképezés parciális deriváltjaiból álló mátrix determinánsaként fejeződik ki .

Egy pontban történő leképezés jakobiánusát általában a következőképpen jelölik: $f$ $x$ $\mathop {\rm {Jac)) _{x}f$

{\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n)))))

,vagy

{\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n)))))

Ezenkívül a jakobi mátrixot néha (oroszul ez a kifejezés nem teljesen elfogadott) magának a jakobi mátrixnak nevezik, és nem annak meghatározója. Az angolban és néhány más nyelvben a Jacobi kifejezést egyformán alkalmazhatónak tekintik a Jacobi-mátrixra és annak determinánsára [1] .

Jacobi (1833, 1841) vezette be .

Definíció

Annak a vektorfüggvénynek a Jacobi - függvényét , amelynek egy ponton minden elsőrendű parciális deriváltja van, a következőképpen definiáljuk $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\lpontok ,x_{n}),i=1,\lpontok ,n$ $x$

\det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x) &\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{ 2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{ n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

Beszélhetünk a jakobi determinánsról vagy a függvényrendszer jakobi determinánsáról is . $u_{1},\ldots ,u_{n}$

Geometriai értelmezés

Ha a függvények a koordináta-transzformációt definiálják , akkor a Jacobi-determináns jelentése a szorzatok egyenlősége esetén a párhuzamos csővezetékek térfogatára [2] viszonyítva . ${\tilde x}_{1}(x_{1},\pontok ,x_{n}),\ldots ,{\tilde x}_{n}(x_{1},\pontok ,x_{n})$ $x_{i}\jobbra nyíl {\tilde x}_{j}$ $d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\pontok ,d{\tilde x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$ $d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$

Alkalmazás

A jakobiánust gyakran használják implicit függvények elemzésére.
A Jacobi-determináns nullához való egyenlőtlensége kényelmes szükséges és elégséges feltételként szolgál egy koordináta-transzformáció lokális nem-degenerálódásához, vagyis azt jelenti, hogy a vizsgált pont szomszédságában ez a transzformáció diffeomorfizmus .
A koordináták nem degenerált transzformációja során a régió feletti integrált a következőképpen alakítjuk át ${\tilde x}_{j}\jobbra nyíl x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n}) d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\pontok d{\tilde x}_{n}=$ $=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}),\pontok ,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\pontok ,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$ ( változóképlet változása n - dimenziós integrálban ).

Példák

1. példa Egy elemi terület átmenete derékszögű koordinátákról ( x , y ) poláris koordinátákra ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

A Jacobi-mátrixnak a következő alakja van

{\hat {I))(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.

És a derékszögű koordinátákról a poláris koordinátákra való átmenet Jacobi-félesége a jakobi mátrix meghatározója:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Így a derékszögű koordinátákról a poláris koordinátákra való átmenetben a területelem így fog kinézni:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

2. példa Egy elemi térfogat átmenete derékszögű koordinátákról ( x , y , z ) gömbkoordinátákra ( r , θ , φ ): ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

A Jacobi-mátrixnak a következő alakja van

{\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{ \partial \theta ))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y} {\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z }{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

A derékszögű koordinátákról a gömbkoordinátákra való átmenet Jacobi-félesége pedig a Jacobi-mátrix meghatározója:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Így a derékszögű koordinátákról a gömbkoordinátákra való átmenet térfogateleme így fog kinézni:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Tulajdonságok

A Jacobi-féle abszolút értéke egy bizonyos ponton megegyezik az ezen a ponton lévő térfogattorzítási együtthatóval (vagyis a pont környéke képének térfogatának a szomszédság térfogatához viszonyított arányának határával , amikor a környék méretei általában nulla). $x$ $x$
Egy pontban a Jacobi-féle pozitív, ha a leképezés nem változtatja meg az irányt az M pont szomszédságában, és negatív egyébként. $x$
Ha a leképezés Jacobianusa nem tűnik el a tartományban, akkor a leképezés lokális diffeomorfizmus . $\Delta$ $\Delta$

Jegyzetek

↑ wolfram.com Jacobian
↑ Itt az orientált hangerőt értjük . A prímtérfogatok aránya a Jacobi-determináns modulusa.

Lásd még

Alkalmazás a fizikában

A Bridgeman-relációk (termodinamika) és a Maxwell-relációk (termodinamika) a Jacobi technikával származtathatók