Formula Cardano

A Cardano képlet egy képlet a köbös egyenlet kanonikus formájának gyökereinek megtalálására

y^{3}+py+q=0

a komplex számok területén . Nevét Gerolamo Cardano olasz matematikusról kapta , aki 1545-ben publikálta [1] . 1545-ben Niccolo Tartaglia plágiummal vádolta Cardanót: utóbbi az Ars Magna című értekezésében feltárt egy algoritmust a köbös egyenletek megoldására, amelyet Tartaglia bízott rá 1539-ben azzal az ígérettel, hogy nem publikálja. Bár Cardano nem tulajdonította magának az algoritmust, és őszintén kijelentette a könyvben, hogy a szerzők Scipio del Ferro és Tartaglia voltak, az algoritmus ma már a "Cardano formulája" [2] méltatlan néven ismert .

Bármely általános alakú köbös egyenlet

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

a változó megváltoztatásával

x=y-{\frac {b}{3a}}

együtthatókkal a fenti kanonikus formára redukálható

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Képlet

Határozzuk meg a [3] értéket :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Ha egy köbegyenlet minden együtthatója valós , akkor Q is valós, és előjele alapján meghatározható a gyökök típusa [3] :

Q > 0 — egy valódi gyök és két konjugált komplex gyök.
Q = 0 egyetlen valódi gyök és egy dupla valós gyök, vagy ha p = q = 0, akkor egy hármas valós gyök.
Q < 0 három valós gyök. Ez az úgynevezett „ irreducibilis ” eset, és ennek a helyzetnek az elemzésében merült fel történetileg először a komplex szám fogalma, mivel a valós eredményt egy komplex számokat használó képlet adja [3] .

Cardano képlete szerint a kanonikus formájú köbös egyenlet gyökerei a következők:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

ahol

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

Ebben az esetben a polinom diszkriminánsa egyenlő . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Ezeket a képleteket alkalmazva mindhárom értékhez ki kell venni egyet , amelyre a feltétel teljesül (ilyen érték mindig létezik). $\alpha$ $\beta$ $\alpha \beta=-p/3$ $\beta$

Ha a köbös egyenlet valós, akkor ajánlatos a valós értékeket választani, amikor csak lehetséges . $\alpha ,\beta$

Következtetés

Az egyenletet a formában ábrázoljuk

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

hol vannak az egyenlet gyökerei. Akkor $y_{i}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Fogadjuk el:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Ekkor a (3) egyenlet megoldásával megkapjuk

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

Az egyik gyökér az lesz . Ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, a következőt kapjuk: $\ y=\alpha +\béta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

A (3)-ból q-t behelyettesítve a rendszerhez jutunk:

\left\{{\begin{mátrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{mátrix }}\jobb.

Tudva, hogy általános esetben az összeg nem egyenlő nullával, megkapjuk a rendszert

\alpha +\beta

\left\{{\begin{mátrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{mátrix}}\jobbra.

ami egyenértékű a rendszerrel

\left\{{\begin{mátrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{mátrix}}\jobbra.

Ez utóbbi a Vieta -képletek két gyökhöz és egy másodfokú egyenlethez: $\alpha ^{3}$ $\beta ^{3}$

\z^{2}+nz+m=0

A maradék két gyöket a polinom faktorálásával találjuk meg

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Lásd még

Irodalom

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. A magasabb matematika kézikönyve két kötetben. - Minszk: Tetrasystems, 1999. - 640 p. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.

Jegyzetek

↑ Stillwell D. Matematika és története . - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - P. 101. - 530 p. Archivált 2014. október 21-én a Wayback Machine -nél Archivált másolat (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2020. május 20. Az eredetiből archiválva : 2014. október 21. (határozatlan)
↑ Stillwell D. Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - P. 101. - 530 p.
↑ 1 2 3 Felsőfokú matematika kézikönyve, 1999 , p. 144.

Formula Cardano

Képlet

Lásd még

Irodalom

Jegyzetek

Linkek