Dimenzióelmélet

A dimenzióelmélet az általános topológia része , amelyben a dimenziókat - egy bizonyos típusú numerikus topológiai invariánsokat - tanulmányozzák . A dimenziót így vagy úgy természetes módon határozzák meg a topológiai terek széles osztályán. Sőt, ha van egy poliéder (különösen egy sokaság ), a méret az elemi geometria értelmében egybeesik a méretek számával. $x$ $x$

Mérettípusok

Induktív dimenzió - nagy és kis induktív méretek és $\left(\operátornév {Ind}\jobb.$ $\left.\operatorname {ind}\right)$
Lebesgue dimenzió $\left(\operátornév {dim}\jobb)$
Homológiai dimenzió
Kohomológiai dimenzió

Történelem

A dimenzió (nagy induktív dimenzió ) első általános meghatározását Brouwer (1913) adta meg Poincaré ötlete alapján . 1921-ben Menger és Uryson , Brouwertől és egymástól függetlenül, hasonló definícióra jutottak (az úgynevezett kis induktív dimenzió ). A dimenzió fogalmának egészen más megközelítése Lebesgue -tól származik . $\operátornév {Ind}$ $\operátornév {ind}$

A Hausdorff-dimenzió a metrikus terek rokon definíciója . Ezt a meghatározást Hausdorff adta meg 1919- ben .

Definíció Uryson szerint

Nulladimenziós egy topológiai ábra, ha nincs benne egynél több pontot tartalmazó összefüggő ábra. Egy halmaz akkor nulla dimenzióval rendelkezik, ha bármely pontjának tetszőlegesen kicsi relatív szomszédsága üres határral [1] .

Egy halmaz akkor rendelkezik első dimenzióval, ha nem nulldimenziós, de bármelyik pontjának tetszőlegesen kicsi relatív szomszédsága van, amelynek határa nulla dimenziós. Egy halmaznak van dimenziója , ha nem , de bármelyik pontjának tetszőlegesen kicsi relatív szomszédsága van, amelynek határa normális [2] . $n$ $n-1$

Egy halmaz egy pontját egy halmaz választja el egy ponttól, ha az ábrán nincs olyan összefüggő halmaz , amely a és és pontokat tartalmazza , és nem metszi egymást . $a$ $x$ $b$ $A$ $x$ $a$ $b$ $A$

Topologikus méretalakként olyan alakzatot értünk, amely nem méretfigura, és amelyben bármely pont a szomszédságával együtt elválasztható az ábra többi részétől legfeljebb [3] [4] méretkészlettel. . $n$ $n-1$ $n-1$

Jegyzetek

↑ Vilenkin, 1969 , p. 149.
↑ Vilenkin, 1969 , p. 151.
↑ Boltyansky, 1982 , p. 35.
↑ Vilenkin, 1969 , p. 152.

Irodalom

Gurevich V. , Volman G. Dimenzióelmélet. - IL, 1948.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Vizuális topológia. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Vilenkin N.Ya. Állítsa be a történeteket. - M. : Nauka, 1969. - 159 p.