A poliéder nem feltétlenül azonos dimenziójú poliéderek egyesülése . A geometriában a poliéder (poliéderek többes száma) egy háromdimenziós alakzat lapos sokszögű lapokkal, egyenes élekkel és éles sarkokkal vagy csúcsokkal. A poliéder szó a klasszikus görög πολεεδρον szóból származik, mint poli- (szár πολύς, "sok") + -éder (alakja δδρα, "alap" vagy "ülőhely"). A konvex poliéder véges számú pont konvex burka, amelyek nem mindegyike ugyanabban a síkban van. A kockák és a piramisok a konvex poliéderek példái.
A poliéder egy általánosabb poliéder háromdimenziós példája tetszőleges számú dimenzióban.
A poliéder egyszerűségekre való felbomlását egyszerűsített komplexumnak nevezzük .
A poliéder fogalmát az egyszerű homológia elmélete használja .
Néha egy poliédert 3-as dimenziójú közönséges poliédernek neveznek.
A konvex poliéderek jól meghatározottak, és számos egyenértékű szabvány definícióval rendelkeznek. Azonban a poliéder formális matematikai meghatározása, amelynek nem kell konvexnek lennie, problémás volt. A "poliéder" számos definícióját megadták bizonyos összefüggésekben, némelyik szigorúbb, mint mások, és nincs általános egyetértés abban, hogy melyiket válasszuk. E definíciók némelyike kizárja a gyakran poliédernek tekintett alakzatokat (például az önmetsző poliédereket), vagy olyan alakzatokat tartalmaz, amelyeket gyakran nem tekintenek érvényes poliédereknek (például merev testeket, amelyek határai nem sokrétűek). Ahogy Branko Grünbaum megjegyezte: "az eredendő bűn a poliéderek elméletében Euklidészig nyúlik vissza , valamint Kepleren , Poinsot -n , Cauchy -n és sok máson keresztül. A szerzők minden szakaszban nem tudták meghatározni, mi is a poliéder." [egy]
Abban azonban általános az egyetértés, hogy a poliéder merev test vagy felület, amely leírható csúcsaival (sarokpontjaival), éleivel (bizonyos csúcspárokat összekötő vonalszakaszok), lapjaival (kétdimenziós sokszögei) és néha háromjával. -dimenziós belső térfogat. Megkülönböztethetjük ezeket a különböző definíciókat attól függően, hogy a poliédert merev testként írják le, vagy felületként írják le, vagy elvontabban írják le esési geometriája alapján.
A poliéder általános és kissé naiv definíciója, hogy olyan merev testről van szó, amelynek határát véges sok sík fedheti le, vagy hogy egy merev test, amely véges számú konvex poliéder egyesüléseként alakult ki. [2] Ennek a definíciónak a természetes finomításai megkövetelik, hogy a merev test korlátos legyen, legyen egy összefüggő belseje és esetleg egy összefüggő határvonala is legyen. Egy ilyen poliéder lapjait úgy határozhatjuk meg, mint a határrészek összefüggő komponenseit az egyes lefedő síkokon belül, az éleket és a csúcsokat pedig mint vonalszakaszokat és pontokat, ahol ezek az oldalak találkoznak. Az így definiált poliéderek azonban nem tartalmazzák az önmetsző csillagpoliédereket, lapjaik nem alkothatnak egyszerű sokszögeket, és egyes élek kettőnél több laphoz is tartozhatnak. Szintén gyakoriak a határoló felület, nem pedig a merev test elképzelésén alapuló definíciók. Például O'Rourke (1993) a poliédert konvex sokszögek (lapjai) uniójaként határozza meg, amelyek a térben úgy helyezkednek el, hogy bármely két sokszög metszéspontja egy közös csúcs vagy él vagy üres halmaz, és az egyesülésük egy elosztó. Ha egy ilyen felület lapos része önmagában nem konvex sokszög, O'Rourke megköveteli, hogy kisebb konvex sokszögekre osztsák fel, köztük lapos kétszögű szögekkel. Valamivel általánosabban Grünbaum az aoptikus poliédert olyan egyszerű sokszögek gyűjteményeként határozza meg, amelyek egy beágyazott sokaságot alkotnak, és mindegyik csúcs legalább három élre esik, és a két lap mindegyike csak közös csúcsaiban és éleinél metszi egymást. [3] A Cromwell-politópok hasonló definíciót adnak, de csúcsonkénti három él korlátozása nélkül. Ez a fajta meghatározás ismét nem vonatkozik az önmetsző poliéderekre. Hasonló fogalmak alapozzák meg a poliéder topológiai definícióit, mint a topológiai sokaság topológiai korongokra (lapokra) való felosztását, amelyek páronkénti metszéspontjainak pontoknak (csúcsoknak), topológiai íveknek (éleknek) vagy üres halmazoknak kell lenniük. Vannak azonban topológiai poliéderek (még az összes háromszöglappal is), amelyek nem valósíthatók meg aoptikus poliéderként.
Az egyik modern megközelítés az absztrakt poliéderek elméletén alapul. Meghatározhatók részlegesen rendezett halmazokként, amelyek elemei egy poliéder csúcsai, élei és lapjai. Egy csúcs vagy élelem kisebb, mint egy él- vagy homlokelem (ebben a részleges sorrendben), ha a csúcs vagy él az él vagy a lap része. Lehetőség van arra is, hogy ebből a részrendből egy speciális alsó elemet (amely az üres halmazt reprezentálja) és egy felső elemet, amely a teljes poliédert reprezentálja. Ha az egymástól három szintre elhelyezkedő elemek közötti részleges sorrendű szakaszok (azaz az egyes lapok és alsó elemek között, valamint a felső elemek és az egyes csúcsok között) ugyanolyan szerkezetűek, mint egy sokszög absztrakt ábrázolása, akkor ezek a részlegesen rendezett halmazok pontosan ugyanazt hordozzák. az információ topológiai poliéderként. Ezek a követelmények azonban gyakran enyhülnek, ehelyett csak azt írják elő, hogy az egymástól két szinten lévő elemek közötti szakaszok szerkezete megegyezzen egy vonalszakasz absztrakt ábrázolásával. Ez azt jelenti, hogy minden él két csúcsot tartalmaz, és két laphoz tartozik, és hogy egy lapon minden csúcs az adott lap két éléhez tartozik. A más módon definiált geometriai poliéderek így absztrakt módon írhatók le, de a geometriai poliéderek meghatározásának alapjaként is lehet absztrakt poliédereket használni. Az absztrakt politóp megvalósítását általában az absztrakt politóp csúcsainak geometriai pontokra való leképezéseként tekintik úgy, hogy az egyes lapok pontjai egy síkban vannak.