Newton-Leibniz tétel

A Newton-Leibniz formula vagy az elemzés alaptétele megadja a kapcsolatot két művelet között: a Riemann-integrál vétele és az antiderivált kiszámítása .

Megfogalmazás

A Newton-Leibniz képlet klasszikus megfogalmazása a következő.

Ha egy függvény folytonos egy szegmensen , és bármely antideriváltja ezen a szegmensen, akkor az egyenlőség $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Bizonyíték

Legyen megadva a szakaszon egy integrálható függvény . $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Állítsunk be egy tetszőleges értéket , és adjunk meg egy új függvényt . Minden értékére definiálva van , mert tudjuk, hogy ha van integrálja on , akkor van integrálja is , ahol . Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint tekintjük $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\textstyle x\in \left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\left[a,x\right]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (egy)

vegye észre, az

$F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$

Mutassuk meg, hogy folytonos a szakaszon . Valóban, hadd ; akkor $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $x,x+h\in\left[a,b\right]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

és ha , akkor $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\to 0,h\to 0$

Így folyamatos, függetlenül attól, hogy vannak-e megszakadásai vagy nincsenek; fontos, hogy integrálható legyen a -n . $\textstyle F$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Az ábra egy grafikont mutat . A változó ábra területe . Növekménye megegyezik az ábra területével , amely a korlátozása miatt nyilvánvalóan nullára hajlik, függetlenül attól, hogy folytonossági vagy szakadási pontról van szó , például pontról .

\textstyle f

\textstyle aABx

\textstyle F(x)

\textstyle F(x+h)-F(x)

\textstyle xBC(x+h)

\textstyle f

h\-tól 0-ig

\textstyle x

\textstyle f

\textstyle xd

Most legyen a függvény ne csak integrálható -on , hanem folytonos is a ponton . Bizonyítsuk be, hogy akkor van egy deriváltja ezen a ponton egyenlő $\textstyle f$ $\left[a,x\right]$ $x\in\bal[a,x\jobbra]$ $\textstyle F$

$\textstyle F'(x)=f(x)$ (2)

Valóban, az adott ponthoz $\textstyle x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1), (3) $h\-tól 0-ig$

Feltesszük , és mivel a konstans relatív , akkor . Továbbá a pont folytonossága miatt bármelyik megadható úgy, hogy for . $\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\textstyle f(x)$ $\textstyle t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\textstyle f$ $\textstyle x$ $\textstyle \varepsilon >0$ $\textstyle \delta$ $\textstyle |\eta (t)|<\varepszilon$ $\textstyle |xt|<\delta$

Ezért

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepszilon =\varepszilon ,|h|<\delta$

ami azt bizonyítja, hogy ennek az egyenlőtlenségnek a bal oldala o(1) -re . $\textstyle h\ to 0$

A (3) at-beli határértékre való átlépés megmutatja a pont deriváltjának létezését és a (2) egyenlőség érvényességét. Itt a jobboldali és baloldali származékokról van szó. $\textstyle h\ to 0$ $\textstyle F$ $\textstyle x$ $\textstyle x=a,b$

Ha egy függvény folytonos -on , akkor a fentiek alapján a megfelelő függvény $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ (négy)

-vel egyenlő deriváltja van . Ezért a függvény antiderivatív a on . $\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\textstyle F(x)$ $\textstyle f$ $\left[a,b\right]$

Ezt a következtetést néha változó felső határ integrál tételének vagy Barrow -tételnek nevezik .

Bebizonyítottuk, hogy egy intervallumon egy tetszőleges folytonos függvénynek ezen az intervallumon van antideriváltja, amelyet a (4) egyenlőség határoz meg. Ez bizonyítja, hogy létezik egy antiderivált bármely intervallumon folytonos függvényre. $\left[a,b\right]$ $\textstyle f$

Legyen most egy függvény tetszőleges antideriváltja . Tudjuk, hogy hol van valami állandó. Feltételezve ebben az egyenlőségben és ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy . $\textstyle \Phi$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)=F(x)+C$ $\textstyle C$ $\textstyle x=a$ $\textstyle F(a)=0$ $\textstyle \Phi (a)=C$

Így, . De $\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Ezért

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{mátrix }x=b\\\\x=a\end{mátrix}}$

Valójában azonban az integrandus folytonosságának követelménye redundáns. E képlet teljesítéséhez elegendő csak a bal és a jobb oldali rész megléte.

Ha egy függvény integrálható és antideriváltja van a szegmensen , — bármely antideriváltja ezen a szegmensen, akkor az egyenlőség $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

A folytonosság a gyakorlatban kényelmes feltétel, hiszen azonnal garantálja mind az integrálhatóságot, mind az antiderivatív meglétét. Ennek hiányában a helyes alkalmazás érdekében mindkét tulajdonságot ellenőrizni kell, ami néha nehéz. Vannak olyan integrálható függvények, amelyeknek nincs antideriváltja (bármilyen függvény véges számú szakadási ponttal vagy Riemann-függvény ), és vannak nem integrálhatóak, amelyeknek van antideriváltja (a derivált nullánál nullával kiegészítve, bármely 0-t tartalmazó szegmensen, ill. a Volterra függvény ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

A képlet általánosítható olyan függvények esetére, amelyeknek véges számú diszkontinuitása van. Ehhez általánosítanunk kell az antiderivatív fogalmát. Legyen a függvény definiálva egy szakaszon , kivéve talán véges számú pontot. Egy függvényt generalizált antiderivatívnak nevezünk, ha: $f$ $[a;b]$ $F$ $f$

Folyamatos egy szakaszon $[a;b]$
Valamennyi ponton – talán véges számú kivételével – differenciálható $[a;b]$
Minden olyan ponton, ahol differenciálható, kivéve talán véges számút, a származéka . $f$

Ez a meghatározás nem követeli meg, hogy a derivált minden olyan ponton egyenlő legyen, ahol differenciálható. Ezzel a fogalommal még erőteljesebben általánosítható a Newton-Leibniz képlet. $F$ $f$ $F$

Legyen mindenhol definiálva , kivéve talán véges számú pontot. Ha egy függvény integrálható és általánosított antideriváltja van a szegmensen , — bármely általánosított antideriváltja ezen a szegmensen, akkor az egyenlőség $f$ $[a;b]$ $\textstyle f(x)$ $\left[a,b\right]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Bizonyíték

Mivel a függvény integrálható, figyelembe lehet venni a partíciók tetszőleges sorozatát, amelyeknek megjelölt pontjai az átmérője nullára hajlik. A felettük lévő integrálösszegek határa egyenlő lesz az integrállal. $f$

Tekintsük egy szegmens partícióinak sorozatát úgy, hogy a partíció átmérője nullára hajlik, mint . Tegyük bele mindegyik partícióba a szakasz azon pontjait is , amelyeknél nem differenciálható, vagy a deriváltja nem egyenlő -val . Ezekkel a további felosztási pontokkal jelölje . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $f$ $T_{n}'$

Most tegyünk rájuk jelölt pontokat. Egy adott partíciót javítunk . Ekkor feltételezzük, hogy a függvény minden szegmensen folytonos és az intervallumokon differenciálható . A Lagrange-tétel feltételei teljesülnek, ezért van egy pont , hogy . Ezeket a pontokat a megjelölt osztási pontoknak tekintjük . Ekkor egy ilyen partíció integrál összege egyenlő lesz . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n) })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

A fenti bizonyítás érdekessége, hogy az integrál egyetlen tulajdonságát sem használta, kivéve a közvetlen definícióját. A klasszikus megfogalmazásban azonban nem bizonyítja a Newton-Leibniz képletet: ehhez további bizonyításra van szükség, hogy bármely folytonos függvény integrálható és antideriváltja van.

Megjegyzés . A képlet meggondolatlan alkalmazása nem folytonos függvényekre hibához vezethet. Példa egy helytelen számításra:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

bár egy pozitív függvény integrálja nem lehet negatív.

A hiba oka: a függvény nem antiderivatív (még általánosított sem) egy szegmensen lévő függvényre , egyszerűen azért, mert nincs nullán definiálva. A függvénynek egyáltalán nincs antideriváltja ezen a szegmensen. Ráadásul ez a függvény sem korlátos a nulla közelében, ezért nem integrálható Riemann szerint. $-{\frac {1}{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $[-1;1]$

Történelem

Ezt a tételt (geometriai vagy mechanikai megfogalmazásban) már a matematikai elemzés megjelenése előtt ismerte Gregory és Barrow . Például Barrow ezt a tényt 1670-ben a négyzetesítés és az érintő feladatok közötti kapcsolatként írta le .

Newton a tételt a következőképpen fogalmazta meg szóban: "Az abszcissza valamely részével szomszédos terület megfelelő értékének megszerzéséhez ezt a területet mindig egyenlőnek kell tekinteni a z [antiderivált] értékeinek különbségével, amelyek megfelelnek az abszcissza részeinek. a terület eleje és vége által határolt abszcissza."

Leibniznek sincs feljegyzése erről a formuláról modern formájában, mivel a határozott integrál jelölése jóval később, a 19. század elején jelent meg Fourier -ban.

A modern megfogalmazást Lacroix adta meg a 19. század elején.

Jelentése

Az elemzés alaptétele kapcsolatot teremt a differenciál- és az integrálszámítás között . Az antiderivált fogalmát (és így a határozatlan integrál fogalmát ) a derivált fogalma határozza meg , és így a differenciálszámításhoz tartozik. Másrészt a határozott Riemann-integrál fogalma olyan határként formalizálódik, amelyhez az úgynevezett integrálösszeg konvergál. Független a derivált fogalmától, és az elemzés egy másik ágához - az integrálszámításhoz - tartozik. A Newton-Leibniz formula lehetővé teszi, hogy határozott integrált fejezzünk ki az antiderivált kifejezéssel.

Lebesgue integrál

A függvény az összegezhető függvény határozatlan integrálja . A funkció teljesen folyamatos . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Tétel ( Lebesgue ): akkor és csak akkor abszolút folytonos egy intervallumon , ha van olyan integrálható függvény , amely x bármely értékére a -tól b - ig . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $g$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Ebből a tételből az következik, hogy ha egy függvény abszolút folytonos -on , akkor a deriváltja szinte mindenhol létezik , integrálható, és kielégíti az [1] egyenlőséget : $f$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, hol .

x\in[a,b]

Néhány következmény

Ennek a tételnek a következményeként megnevezhető a változók változásának képlete, valamint a monoton függvényekre vonatkozó Lebesgue-kiterjesztési tétel [1] .

Integráció részenként

Legyenek és abszolút folytonos függvények a szakaszon . Akkor: $f$ $g$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

A képlet közvetlenül az elemzés főtételéből és a Leibniz-szabályból [1] következik .

Változatok és általánosítások

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Valós és funkcionális elemzés: egyetemi kurzus. - M.-Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, Számítógépes Kutatóintézet, 2009. - P. 188-197. — 724 p. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Irodalom

Demidovich B. P. Tanszék 3. A Newton-Leibniz formula // Matematikai elemzési feladatok és gyakorlatok gyűjteménye. - 1990. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).
Kamynin L. I. Matematikai elemzés. T. 1., 2. - 2001.
Nikiforovsky V. A. Az integrálhoz vezető út. - M .: Nauka, 1985.