Göndör számok

Az ábrás számok olyan számok, amelyek geometriai alakzatokkal ábrázolhatók. Ez a történeti felfogás a pitagoreusokhoz nyúlik vissza , akik geometriai alapon dolgozták ki az algebrát, és bármely pozitív egész számot síkban lévő pontok halmazaként ábrázoltak [1] . A „szám négyzet” vagy „kocka” [2] kifejezés ennek a megközelítésnek a visszhangja maradt .

Hagyományosan a göndör számoknak két fő osztálya van [3] :

A lapos sokszögű számok egy adott sokszöghez tartozó számok. Klasszikus és középpontos részekre oszthatók .
A térbeli poliéder számok egy bizonyos poliéderhez társított számok .

A figuratív számok minden osztályát változatokra osztják , amelyek mindegyike egy adott geometriai alakzathoz kapcsolódik: háromszög, négyzet, tetraéder stb.

Vannak a göndör számok többdimenziós terekre történő általánosításai is . Az ókorban, amikor az aritmetikát nem különítették el a geometriától, több figuratív számtípust is számításba vettek, amelyeket jelenleg nem használnak .

A számelméletben és a kombinatorikában a figuratív számokat az egész számok sok más osztályával társítják - binomiális együtthatók , tökéletes számok , Mersenne -számok , Fermat -számok , Fibonacci-számok , Lucas -számok és mások [4] .

Klasszikus sokszögszámok

A rövidség kedvéért ebben a részben a klasszikus sokszögszámokat egyszerűen "sokszögszámoknak" nevezzük.

Geometriai meghatározás

A sokszögű számok a pontok számát jelző sorozatok, amelyek a szabályok szerint vannak összeállítva, amelyeket egy hétszög példáján fogunk bemutatni. A hétszögű számok sorozata 1-gyel kezdődik (alappont), majd jön a 7, mert 7 pont egy szabályos hétszöget alkot , 6 pont jön össze. A harmadik szám egy hétszögnek felel meg, amelynek oldalai már nem két, hanem három pontot tartalmaznak, és az előző lépésekben felépített összes pontot is figyelembe veszik. Az ábrán látható, hogy a harmadik ábra 18 pontot tartalmaz, a növekedés (Püthagorasz " gnomonnak " nevezte) 11 pont volt. Könnyen belátható, hogy az összeadások egy aritmetikai sorozatot alkotnak , amelyben minden tag 5-tel több, mint az előző [5] .

Áttérve egy általános -gonra, arra a következtetésre juthatunk, hogy minden lépésben a figuratív számnak megfelelő pontok száma növekszik egy aritmetikai progresszió [5] összegével, ahol az első tag 1 és a különbség $k$ $k-2.$

Algebrai definíció

A k -szén szám általános definíciója bármelyikre a fent bemutatott geometriai konstrukcióból következik. A következőképpen fogalmazható meg [6] : $k \geqslant 3$

$n$ A sorrendben lévő k - szénszám egy olyan aritmetikai sorozat első tagjának összege, amelyben az első tag egyenlő 1-gyel, a különbség pedig ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $k-2.$

Például a háromszög számokat a sorozat részösszegeként kapjuk meg , és a négyszög (négyzet) számok megfelelnek a sorozatnak $1+2+3+4\dots$ $1+3+5+7\dots$

A k -szögű számok sorozatának alakja [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\pont

Az általános képlet a k -szén szám harmadrendjének explicit kiszámításához úgy kapható meg, hogy azt egy aritmetikai progresszió összegeként ábrázoljuk [8] : $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

Egyes forrásokban a göndör számok sorozata nullától kezdődik (például az A000217 -ben ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots

Ebben az esetben az általános képletben megengedett . Ebben a cikkben a figuratív számok egytől kezdődően vannak számozva, a kiterjesztett sorozat pedig külön van megadva. ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n=0.$

Van egy rekurzív képlet is a sokszögszám kiszámítására [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cases}}

Az oldalak számának eggyel növelésével a megfelelő figuratív számok a Nicomach -képlet szerint változnak [9] : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, hol .

n>1

(Nicomachus)

Mivel ez lineárisan függ a képlet érvényes: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, hol .

s=0,1,2\dots k-3

Más szavakkal, minden sokszög szám a tőle egyenlő távolságra lévő sokszög számok számtani középértéke . $k$

Ha egy prímszám , akkor a második -szénszám, amely egyenlő -val, szintén prímszám; ez az egyetlen szituáció, amikor egy sokszögszám prímszám, amely az általános képlet következő formában történő felírásával érhető el: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Bizonyítás: legyen Ha páros, akkor a göndör szám osztható -vel , ha pedig páratlan, akkor osztható -val . A figuratív szám mindkét esetben összetettnek bizonyul [10] . $n>2.$ $n$ ${\textstyle {\frac {n}{2))}$ ${\textstyle {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Inverz sokszögű számok sorozata

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\pontok +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\pontok

konvergálnak. Összegük úgy ábrázolható, hogy ahol az Euler-Mascheroni konstans , az a digammafüggvény [ 11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Történelmi vázlat

A figurális számok a pitagoreusok szerint fontos szerepet játszanak az univerzum felépítésében. Ezért az ókor számos kiemelkedő matematikusa foglalkozott tanulmányaival: Eratosthenes , Hypsicles , Alexandriai Diophantus , Szmirnai Theon és mások. Hypsicles (Kr. e. 2. század) általános definíciót adott a -coal számnak egy aritmetikai sorozat tagjainak összegeként , amelyben az első tag , a különbség pedig . Diophantus írt egy nagy tanulmányt "A sokszögű számokról" (Kr. u. 3. század), amelynek töredékei a mai napig fennmaradtak. A Hypsicles definícióját Diophantus könyve a következő formában tartalmazza [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $egy$ $k-2$

Ha veszünk néhány számot egyből kiindulva, amelyeknek azonos a különbsége, akkor összegük, ha a különbség egy, háromszög lesz, ha kettő, akkor négyszög, és ha három, akkor ötszög. A sarkok számát a kettővel növelt különbség határozza meg, az oldalt pedig a felvett, számláló és egy számok száma.

A figurális számokról sokat beszélnek a pitagoraszi aritmetikai tankönyvek, amelyeket Geraz Nikomákhosz és Szmirnai Theon (II. század) készítettek, akik számos függőséget állapítottak meg a különböző dimenziójú figurális számok között. Az indiai matematikusok és a középkori Európa első matematikusai ( Fibonacci , Pacioli , Cardano stb.) nagy érdeklődést mutattak a figuratív számok iránt [14] [4] .

A modern időkben Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss és mások foglalkoztak sokszögű számokkal . 1636 szeptemberében [15] Fermat Mersenne -nek írt levelében megfogalmazott egy tételt, amelyet ma Fermat sokszögű számtételének [14] neveznek :

Elsőként fedeztem fel egy nagyon szép és meglehetősen általános tételt, amely szerint minden szám vagy háromszög, vagy két vagy három háromszögszám összege; minden szám vagy négyzet, vagy két, három vagy négy négyzet összege; vagy ötszögletű, vagy két, három, négy vagy öt ötszögű szám összege, és így tovább a végtelenségig, legyen szó hatszögről, hétszögről vagy bármilyen sokszögről. Itt nem tudok olyan bizonyítékot adni, amely a számok sok és bonyolult titkától függ, mert egy egész könyvet szándékozom szentelni ennek a témának, és az aritmetika ezen részében elképesztő előrelépést kívánok elérni a korábban ismert határokhoz képest.

Ígéretével ellentétben Fermat soha nem publikálta ennek a tételnek a bizonyítását, amelyet Pascalnak (1654) írt levelében fő matematikai eredményének nevezett [15] . Számos kiváló matematikus foglalkozott a problémával - 1770-ben Lagrange négyzetszámokra ( Lagrange tétele négy négyzet összegére ), 1796-ban Gauss háromszögszámokra adott bizonyítékot. A tétel teljes bizonyítását Cauchy adta meg 1813-ban [16] [17] .

A klasszikus sokszögszámok változatai

Háromszög számok

Háromszög alakú számsor :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … ( A00027 -es sorozat az OEIS -ben )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Tulajdonságok [18] :

Egy sorozatelem paritása 4-es periódussal változik: páratlan, páratlan, páros, páros. Egyetlen háromszögszám sem végződhet (tizedes jelöléssel) 2, 4, 7, 9 számokra [19] .

A rövidség kedvéért jelöljük a háromszög számot: Ekkor a rekurzív képletek érvényesek: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Bacher de Meziriac képlete : A sokszögű szám általános képlete átalakítható úgy, hogy bármely sokszög szám kifejeződését háromszög alakban jelenítse meg:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(basche)

Két egymást követő háromszög szám összege ad egy teljes négyzetet ( négyzetszám ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Fermat sokszögszámokra vonatkozó tétele azt jelenti, hogy bármely természetes szám legfeljebb három háromszögszám összegeként ábrázolható.

A háromszögszámok véges sorozatának összegét a következő képlet számítja ki:

S_{m-1}=1+3+6+\pont +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

Háromszögszámok reciprok sorozata ( teleszkópos sorozat ) konvergál [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\ dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

) téglalap alakú számsorozatot adnak .

Egy természetes szám akkor és csak akkor háromszög alakú, ha a szám négyzet [ [21] . $N$ $8N+1$

A misztikában ismert " a fenevad száma " (666) a 36. háromszög. Ez a legkisebb háromszögszám, amely háromszögszámok négyzetösszegeként ábrázolható [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

A háromszög számok alkotják a Pascal-háromszög harmadik átlós vonalát .

Négyzetszámok


$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

A négyzetszámok két azonos természetes szám szorzata, vagyis tökéletes négyzetek :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (A00290 szekvencia az OEI0290 - ben ).

n^{2}

Minden négyzetszám az egy kivételével két egymást követő háromszögszám összege [23] :

{\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Példák: stb.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Egy négyzetszám összege, amelyet egy háromszög alakú szám előz meg, egy ötszögű számot ad :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Ezt a tételt először Nicomachus publikálta (" Bevezetés az aritmetikába ", II. század) [24] .

Az első természetes számok négyzetösszegét a [25] képlettel számítjuk ki : $n$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

Inverz négyzetszámok sorozata konvergál [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\pontok +{\frac {1}{n^{2}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Minden természetes szám legfeljebb négy négyzet összegeként ábrázolható ( Lagrange-féle négyzetösszeg tétel ).

Brahmagupta-Fibonacci azonosság : Két négyzetszám összegének és két négyzetszám bármely más összegének szorzata két négyzetszám összegeként ábrázolható.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Mivel a jobb oldali második tag egyenlő lehet nullával, itt egy kiterjesztett négyzetszám-sorozatot kell figyelembe venni, amely nem 1-től, hanem nullától indul (lásd A000290 ).

Példa:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Ötszögletű számok

Az ötszögletű számok sorozata így néz ki:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( OEIS26 A0 szekvencia ) .

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Az ötszögű számok szorosan összefüggenek a háromszögekkel [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Mint fentebb említettük, egy ötszögletű szám a 2. számtól kezdve egy négyzet és egy háromszög szám összegeként ábrázolható:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Ha általánosabb sorozatot ad meg a képletben : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots

akkor általánosított ötszögű számokat kapunk :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ( OEIS - szekvencia A001318 ).

Leonhard Euler általánosított ötszögletű számokat fedezett fel a következő azonosságban :

{\megjelenítési stílus (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\lpont }

Az azonosság jobb oldalán lévő hatványok általánosított ötszögű számok sorozatát alkotják [27] . $x$

Hatszögletű számok 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( 003844. szekvencia ).

2n^{2}-n

A hatszögletű számok sorozatát a páros számú elemek törlésével kapjuk meg a háromszögszámok sorozatából [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Egy természetes szám akkor és csak akkor hatszögletű, ha a szám természetes . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Hétszögletű számok Nyolcszögű számok Dodecagonal számok

A kétszögletű számok kiszámítása a következő képlettel történik : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1377, 1548, 1548, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216 , 1377 .

A decimális rendszerben a -edik kétszögletű szám ugyanarra a számjegyre végződik, mint maga a szám . Ez következik a kézenfekvő összehasonlításból : honnan kapjuk: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Annak meghatározása, hogy egy adott szám sokszögű-e

1. feladat (Diophantus feladat): adott egy természetes szám . Határozza meg, hogy ez egy sokszög szám , és ha igen, melyik és . Diophantus ezt a problémát a következőképpen fogalmazta meg: " Keresse meg, hogy egy adott szám hányszor fordul elő az összes lehetséges sokszögszám között " [29] . $N>2$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $n$

A feladat megoldása a „ Diofantin egyenlet ” megoldására redukálódik (lásd az általános képletet ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

vagy: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Írjuk át a kapott egyenletet a következő alakba: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

A jobb oldali törtek nevezői viszonylag prímszámúak ; az ilyen törtek összege vagy különbsége csak akkor lehet egész szám, ha minden tört egész [30] , tehát többszöröse , de többszöröse . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Ennek eredményeként a megoldási algoritmus a következő formát ölti [29] :

Írja ki a szám összes természetes osztóját (beleértve önmagát is ). $2N$ $egy$ $2N$
Írd fel a szám összes természetes osztóját ! $2N-2$
Válassza ki az első halmazból azokat a számokat, amelyek nagyobbak a második halmaz bármely számánál. Ezek a számok megegyeznek . $egy$ $n$
Számítsa ki mindegyik kiválasztott esetében . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Törölje azokat a párokat , amelyekben . $(n,\;k)$ $k<3$

Ekkor a fennmaradó párokhoz tartozó összes szám egyenlő . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $N$

Példa [29] . Hadd . $N=105$

Elválasztók . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Elválasztók . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Kiválasztás . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
Ennek megfelelően . Az utolsó értéket el kell vetni. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Válasz: ábrázolható , azaz a 2. 105 szögű, 3. 36 szögű, 5. 12 szögű és 14. 14 szögű számként. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14) )}$

2. feladat : adott egy természetes szám , meg kell határoznia, hogy az -coal szám -e . Az 1. feladattal ellentétben itt meg van adva. $N>2,$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

A megoldáshoz használhatja a Diophantus identitást [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Ezt az azonosságot a fenti általános képletből kapjuk, ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ és egyenértékű vele. A megoldás az azonosságból következik: ha van egy -coal szám, vagyis egyesre , akkor van valamilyen négyzetszám , és fordítva. Ebben az esetben a számot a [31] képlet határozza meg : $N$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $n,$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4))}

Példa [31] . Határozzuk meg, hogy a szám 10 oldalú-e. Az érték itt egyenlő, tehát a válasz igen. innen a 20. 10 szögű szám. $1540$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Függvény generálása

A hatványsor , amelynek együtthatói -coal számok, a következőhöz konvergál : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\pontok = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

A jobb oldali kifejezés a -coal számsorozat generáló függvénye [32] . $k$

A függvénygeneráló apparátus lehetővé teszi a matematikai elemzés módszereinek alkalmazását a számelméletben és a kombinatorikában . A fenti képlet megmagyarázza a -szén számok megjelenését is a Taylor-sor együtthatói között különböző racionális törtek esetén. Példák: $k$

itt : ;

k=3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\pontok +P_{n}^{(3)}x^{n}+\pontok }

itt : ;

k=4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\pontok +P_{n}^{(4)}x^{n}+\pontok }

itt :

k=5

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\pontok +P_{n}^{(5)}x^{n}+\pontok }

stb.

A sokszögszámok egyes osztályaihoz léteznek speciális generáló függvények. Például négyzetes háromszögszámok esetén a generáló függvény a következő formájú [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots$

{\textstílus {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\pontok }

; a sorozat -nál konvergál .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Klasszikus sokszögszámok egynél több fajtából

Végtelen számú "több alakzatú" (vagy "többsokszögű") [34] szám létezik, vagyis olyan szám, amely egyidejűleg a göndör számok több különböző fajtájához tartozik. Például vannak olyan háromszögszámok, amelyek szintén négyzet alakúak (" négyzetes háromszögszámok ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots

( A001110 sorozat az OEIS -ben ).

A háromszög szám lehet egyidejűleg is

ötszögletű ( A014979 sorozat az OEIS -ben ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315623465…

hatszögletű (minden háromszög alakú szám páratlan számmal);
hétszögű ( A046194 szekvencia az OEIS -ben ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 658045, 818041

stb. Nem ismert, hogy vannak-e olyan számok, amelyek egyszerre három-, négyzet- és ötszög alakúak; az ennél kisebb számokkal végzett számítógépes teszt nem mutatott ki ilyen számot, de nem bizonyított, hogy ilyenek nincsenek [34] . $10^{22166},$

Egy négyzetszám lehet egyszerre

ötszögletű ( A036353 sorozat az OEIS -ben ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801…

hatszögletű ( A046177 szekvencia az OEIS -ben ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 289328451017384103…,

hétszögletű ( A036354 szekvencia az OEIS -ben ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

stb.

Egy ötszögletű szám egyidejűleg lehet:

hatszögletű ( A046180 szekvencia az OEIS -ben ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

hétszögű ( A048900 szekvencia az OEIS -ben ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

stb.

A hatszögletű szám szükségszerűen háromszög alakú is; egyidejűleg hétszögletű is lehet ( A48903 szekvencia az OEIS -ben ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Három vagy több típusú figuratív szám más kombinációja is lehetséges. Például, amint fentebb bebizonyosodott , a számnak négy változata van: Az ilyen kombinációk teljes listáját a háromszögtől a 16 szögű számokig lásd az A062712 sorozatban az OEIS -ben . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105 )}.$

Pivot táblázat

k	Változatos göndör számok	Általános képlet	n										Reciprok összege [36]	OEIS szám
k	Változatos göndör számok	Általános képlet	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	Reciprok összege [36]	OEIS szám
3	háromszög alakú	egy2( n 2 + n )	egy	3	6	tíz	tizenöt	21	28	36	45	55	2	A000217
négy	négyzet	egy2( 2n2 − 0n ) = n2_ _	egy	négy	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	ötszögű	egy2(3 n 2 − n )	egy	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	hatszögletű	egy2( 4n2 − 2n ) _	egy	6	tizenöt	28	45	66	91	120	153	190	2 l 2	A000384
7	hétszögletű	egy2( 5n2 − 3n ) _	egy	7	tizennyolc	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} }{2}}\jobbra)$	A000566
nyolc	nyolcszögű	egy2( 6n2 − 4n ) _	egy	nyolc	21	40	65	96	133	176	225	280	3négyln 3+ $\pi$ √ 312	A000567
9	nem szögletes	egy2( 7n2 − 5n ) _	egy	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operátornév {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
tíz	tízszögű	egy2( 8n2 − 6n ) _	egy	tíz	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2+ $\pi$ 6	A001107
tizenegy	11-szén	egy2( 9n2 − 7n ) _	egy	tizenegy	harminc	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-szén	egy2( 10n2 − 8n ) _	egy	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-szén	egy2( 11n2 − 9n ) _	egy	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
tizennégy	14-szén	egy2( 12n2 − 10n ) _	egy	tizennégy	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2+3tízln 3+ $\pi$ √ 3tíz	A051866
tizenöt	15-szén	egy2( 13n2 − 11n ) _	egy	tizenöt	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-szén	egy2( 14n2 − 12n ) _	egy	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-szén	egy2( 15n2 − 13n ) _	egy	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
tizennyolc	18-szén	egy2( 16n2 − 14n ) _	egy	tizennyolc	51	100	165	246	343	456	585	730	négy7napló 2 -√2 _tizennégylog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )tizennégy	A051870
19	19-szén	egy2( 17n2 − 15n ) _	egy	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
húsz	nyolcszögű	egy2( 18n2 − 16n ) _	egy	húsz	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-szén	egy2( 19n2 − 17n ) _	egy	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-szén	egy2( 998n2 − 996n ) _	egy	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10000	10000 szén	egy2(9998 n 2 – 9996 n )	egy	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Középre igazított sokszögszámok

Definíció

A középpontos szögszámok ( ) a következő geometriai konstrukcióval kapott alakos számok osztálya. Először egy bizonyos központi pontot rögzítenek a síkon. Ekkor egy szabályos k -gont építünk köré csúcspontokkal, mindkét oldal két pontot tartalmaz (lásd az ábrát). Továbbá az új rétegek -gonok kívülre épülnek, és az új rétegen minden oldaluk egy ponttal több pontot tartalmaz, mint az előző rétegben, vagyis a második rétegtől kezdve minden következő réteg több pontot tartalmaz, mint az előző. Az egyes rétegeken belüli pontok összlétszáma, és középre igazított sokszögű szám (a középen lévő pontot tekintjük a kezdeti rétegnek) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Példák középpontos sokszögszámok építésére:

háromszög alakú	Négyzet	Ötszögű	Hatszögletű

A konstrukcióból látható, hogy a középpontos sokszögszámokat a következő sorozatok részösszegeiként kapjuk: (például középpontos négyzetszámok, amelyekhez sorozatot alkotnak: ) Ezt a sorozatot felírhatjuk így , amiből látható hogy a zárójelben a klasszikus háromszögszámok generáló sorozata (lásd a fenti ábrát ). Ezért a 2. elemtől kezdődően a középpontos -szögszámok minden sorozata úgy ábrázolható, mint , ahol háromszögszámok sorozata. Például a középpontos négyzetszámok négyszeres háromszögszámok plusz , ezek generáló sorozata: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ ${\megjelenítési stílus 1,5,13,25,41\pontok }$ $1+k(1+2+3+4+\dots )$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\pontok )$ $egy$ $1+4+8+12\dots$

A háromszögszámokra vonatkozó fenti képletből ki lehet fejezni a középpontos szögszám általános képletét [ 38 ] : $n$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\pont }

(OCF)

A központosított sokszögszámok generáló függvénye a következő formájú: [39] :

{\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

A központosított sokszögszámok változatai

Középre igazított háromszögszámok

$n$ A sorrendben a középpontos háromszög számot a következő képlet adja meg:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Következmény (for ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

A középpontos háromszögszámok sorozatának első elemei:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571…, ( OEIS44 A805 szekvencia ) .

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Néhány ingatlan [40]

Minden 10-től kezdődő középpontos háromszögszám három egymást követő klasszikus háromszögszám összege: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Az általános képlet következményéből látható, hogy minden középpontos háromszögszám 3-mal osztva 1 maradékot ad, és a hányados (ha pozitív) a klasszikus háromszögszám . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\displaystyle T_{n-1))$
Egyes középpontos háromszögszámok prímszámok [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … ( A125602 sorozat az OEIS -ben ).

Középre igazított négyzetszámok

egy		5		13		25

$n$ A sorrendben középre állított 4 szögű (négyzet) számot a következő képlet adja meg:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

A középpontos négyzetszámok sorozatának első elemei:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761…, ( OEIS 44 A0 szekvencia ).

n^{2}+(n-1)^{2}\pontok

Néhány ingatlan [41]

Amint az az általános képletből látható , egy középpontos négyzetszám két egymást követő négyzet összege.
Minden középre állított négyzetszám páratlan, és a decimális ábrázolásuk utolsó számjegye egy ciklus alatt változik: 1-5-3-5-1.
Minden középpontos négyzetszám és osztói 1-et hagynak hátra, ha elosztjuk 4-gyel, és 6-tal, 8-mal vagy 12-vel osztva 1 vagy 5 maradékot adnak.
Az 1 kivételével minden középre állított négyzetszám az egyik Pitagorasz-hármasban található hipotenusz hosszát jelenti (pl. 3-4-5, 5-12-13). Így minden középre osztott négyzetszám egyenlő a négyzetrács középpontjától számított blokkokban megadott távolságon belüli pontok számával.
Két egymást követő klasszikus nyolcszögű szám közötti különbség egy középre állított négyzetszám.
Egyes középpontos négyzetszámok prímszámok (amint fentebb látható, a klasszikus négyzetszámok, a sorrendben a harmadiktól kezdve, nyilvánvalóan összetettek). Példák egyszerű középpontos négyzetszámokra:

5., 13., 41., 61., 113., 181., 313., 421., 613., 761., 1013., 1201., 1301., 1741., 1861., 2113. , 2381. , 2521., 2381., 2521. , 318. A27. 2521, 318 A27 . Középre igazított ötszögű számok

$n$ A sorrendben a középre osztott ötszög számot a következő képlet adja meg:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Néhány első középre állított ötszögű szám:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 …, … , A 0581 sorozat

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

A középpontos ötszögű számok paritása a szabály szerint változik: páros-páros-páratlan, és az utolsó tizedesjegy változik egy ciklusban: 6-6-1-1.

Egyes középpontos ötszögű számok prímszámok [10] : 31, 181, 331, 391, 601 . . . ( A145838 sorozat az OEIS -ben ).

Központosított hatszögletű számok

$n$ A sorrendben a középre állított hatszög számot a következő képlet adja meg:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Több első központú hatszögletű szám:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … ( A003215 sorozat az OEIS -ben ).

1+3n(n-1)

Néhány ingatlan [42]

A központosított hatszögű számok utolsó tizedesjegye 1-7-9-7-1 ciklusban változik.
Az első n középpontú hatszög szám összege megegyezik a " köbszámmal " . $n^3$
A rekurzív egyenlőség igaz: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Egyes középpontos hatszögszámok prímszámok [10] : 7, 19, 37, 61, 127… ( A002407 sorozat az OEIS -ben ).

Középre igazított hétszögű számok

$n$ A sorrendben a középpontos hétszög számot a képlet adja meg . Úgy is kiszámítható, hogy egy háromszögszámot megszorozunk 7-tel, és hozzáadunk 1-et. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Számos első középre állított hétszögű szám:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … ( A069099 sorozat az OEIS -ben ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

A középpontos hétszögű számok paritása a páratlan-páros-páratlan ciklusban változik.

Néhány középpontos hétszögű szám prímszám [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697… ( OEIS szekvencia A144974 ).

Vannak középpontos hétszögű számok is, amelyeket ikerprímpárok tartalmaznak :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651… ( OEIS szekvencia A144975 ). Középre igazított nyolcszögletű számok

$n$ A sorrendben negyedik középre osztott nyolcszögletű számot adjuk meg . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Több első középre osztott nyolcszögletű szám:

1., 9., 25., 49., 81., 121., 169., 225., 289., 361., 441., 529., 625., 729., 841., 961., 1089. Néhány ingatlan [43]

Minden középre osztott nyolcszögletű szám páratlan, és az utolsó tizedesjegyük egy 1-9-5-9-1 ciklusban változik.
A középre osztott nyolcszögű szám megegyezik a klasszikus páratlan négyzetszámmal: Más szavakkal, a páratlan szám akkor és csak akkor középre osztott nyolcszögű szám, ha egy egész szám négyzete. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Az előző tulajdonságból következik, hogy az 1 kivételével minden középre osztott nyolcszögű szám összetett.

Középre igazított, nem hatszögletű számok

$n$ A sorrendben középre állított kilencszögű számot az általános képlet határozza meg . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

A -edik háromszögszámot 9-cel megszorozva és 1-et összeadva a -edik középpontú hatszögletű számot kapjuk , de van egy egyszerűbb kapcsolat is a háromszögszámokkal - minden harmadik háromszögszám (1., 4., 7. stb.) szintén középpontos nem agonális szám, és így minden középpontos nem szögszám megkapható. Formális jelölés: . $(n-1)$ $n$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

Első középre igazított kilencszögű számok:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946… ( OEIS szekvencia A060544 ).

A 6 kivételével minden páros tökéletes szám egyben középpontos hatszögletű szám is. 1850-ben Frederick Pollock amatőr matematikus azt javasolta , hogy minden természetes szám legfeljebb tizenegy középpontos kilencszögű szám összege [44] .

Az általános képletből következik, hogy az 1 kivételével minden középre osztott kilencszögű szám összetett.

Középre igazított dekagonális számok

$n$ A sorrendben tizedik középpontos számot a képlet adja meg . $5(n^{2}-n)+1$

A központosított tízszögű számok első képviselői:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051… ( OEIS - szekvencia A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Más k -szögű számokhoz hasonlóan a -edik középpontú tízszög kiszámítható úgy, hogy a -edik háromszög számot megszorozzuk -vel , esetünkben 10-zel, majd hozzáadunk 1-et. Ennek eredményeként a középpontos tízszög számok egyszerűen úgy kaphatók meg, hogy a számhoz hozzáadunk 1-et. szám decimális ábrázolása. Így minden középre osztott dekagonális szám páratlan, és mindig 1-re végződik decimális ábrázolásban. $n$ $(n-1)$ $k$

A középre állított tízszögű számok egy része prímszám, például:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 2531 , 3001 .

Sokszögű számok, klasszikus és középre igazított

Néhány középpontos sokszögű szám egybeesik a klasszikus számokkal, például: ; a rövidség kedvéért az ilyen sokszögű számokat double -nak nevezzük . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Dupla számok közös paraméterrel (sarkok száma): a [45] azonosság érvényes :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Kettős háromszög számok különböző példákkal : ( A128862 sorozat az OEIS -ben ). Megtalálásukhoz meg kell oldania a Diophantine egyenletet :

k.

1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\dots

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

akkor . Néhány megoldás:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\ponts

( A133161 sorozat az OEIS -ben ), ill.

n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\ponts

( A102871 sorozat az OEIS -ben ). 3. Klasszikus négyzetszámok, amelyek középpontos háromszögszámok. Ezeket a diofantinuszi egyenlet határozza meg:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Akkor .

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Megoldások:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\ponts

( A129445 szekvencia az OEIS -ben ), ill

n=1,2,7,16,65\pont

Az első számok a következők:

1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots

4. Klasszikus háromszög, amelyek középpontos hatszögű számok. Az első ilyen számok a következők: ( A006244 sorozat az OEIS -ben ). Ezeket a diofantinuszi egyenlet határozza meg:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Akkor .

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Megoldások:

m=1,13,133,1321,13081\pontok

( A031138 sorozat az OEIS -ben );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\pontok

( A087125 sorozat, az OEIS -ben ). 5. Klasszikus négyzetszámok, amelyek középen hatszögletű számok. Az első ilyen számok a következők: ( A006051 sorozat az OEIS -ben ). Ezeket a diofantinuszi egyenlet határozza meg:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Akkor .

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Megoldások:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\pontok

( A001570 sorozat az OEIS -ben );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\pontok

( A001921 sorozat, az OEIS -ben ).

Térbeli figuratív számok

A fentebb síkfigurákhoz tartozó figuratív számok mellett meghatározható térbeli vagy akár többdimenziós analógjaik is. Már az ókori matematikusok is tanulmányozták a tetraéderes és négyzetes piramisszámokat . Könnyű meghatározni a piramisokhoz társított számokat , amelyek bármely más sokszögen alapulnak, például:

Ötszögletű piramisszám .
Hatszögletű piramisszám .
Hétszögletű piramisszám .

A térbeli figuratív számok más változatai a klasszikus poliéderekhez kapcsolódnak .

Piramisszámok

A piramisszámok meghatározása a következő:

$n$ A sorrendben lévő k - szögű gúlaszám az első azonos számú szögű lapos figuratív számok összege : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ pont +P_{n}^{(k)}

Geometriailag egy piramisszámot rétegek piramisaként ábrázolhatunk (lásd az ábrát), amelyek mindegyike 1 (felső réteg) és (alsó) golyót tartalmaz. ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Indukcióval nem nehéz bebizonyítani a piramisszám általános képletét, amelyet már Archimedes is ismert [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Ennek a képletnek a jobb oldala sík sokszögszámokkal is kifejezhető:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Van egy háromdimenziós analógja a Nicomachus-képletnek a piramisszámokra [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

A piramisszámok generáló függvénye [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Háromszög alakú piramis (tetraéder) számok

A háromszög alakú piramisszámok, más néven tetraéder számok, olyan figuratív számok, amelyek egy tetraédert , azaz egy piramist ábrázolnak, amelynek alapjában egy háromszög található. A piramisszámok fenti általános definíciója szerint a tetraéderszám e-sorrendje az első háromszögszámok összege : $n-$ $n$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\pontok +T_{n))

A tetraéderszám általános képlete: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

Az első néhány tetraéder szám:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969… ( OEIS - szekvencia A000292 ).

Érdekes módon az ötödik szám megegyezik az összes előző szám összegével.

A Basche de Meziriac képletnek van egy háromdimenziós analógja , nevezetesen egy tetszőleges piramisszám kiterjesztése tetraéderes számokban [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Öt tetraéder szám egyszerre háromszög alakú ( A027568 sorozat az OEIS -ben ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Csak három tetraéder szám négyzetszám ( A003556 sorozat az OEIS -ben ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

Pollock egyik „sejtése ” (1850): minden természetes szám legfeljebb öt tetraéder szám összegeként ábrázolható. Még nem bizonyított, bár minden 10 milliárdnál kisebb számra tesztelték [49] [50] .

Négyzet alakú piramisszámok

A négyzet alakú piramisszámokat gyakran röviden egyszerűen piramisszámoknak nevezik. Számukra a piramis négyzet alakú alappal rendelkezik. Kezdő sorozat:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… ( OEIS sorozat A000330 ).

A négyzet alakú piramisszám általános képlete: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

A piramis négyzetszám egyben a négyzetek [51] teljes számát is kifejezi egy négyzetrácsban . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)))$ $n\szer n$

A négyzet és a háromszög alakú piramisszámok között a következő összefüggés van [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Fentebb megjegyeztük, hogy az egymást követő háromszögszámok összege négyzetszám; hasonlóképpen az egymást követő tetraéderszámok összege egy négyzet piramisszám [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Poliéderszámok

A négyzetszámokkal analóg módon megadhat "köbös számokat" , valamint más szabályos és szabálytalan poliédereknek megfelelő számokat – például platóni testeket : $Q_{n}=n^{3},$

Központosított opciók is rendelkezésre állnak.

Köbszámok

A köbös számok három azonos természetes szám szorzata, és általános formájuk : Kezdőértékek: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . ( A000578 sorozat az OEIS -ben ).

A köbszám kifejezhető az egymást követő háromszögszámok négyzeteinek különbségével [53] :

{\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2))

, .

n\geqslant 2

Következmény: az első köbszámok összege egyenlő a háromszög szám négyzetével: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\pontok +Q_{n}=(T_{n})^{2))

A két szomszédos köbös szám különbsége egy középpontos hatszögletű szám. Következmény: az első középpontos hatszögszámok összege egy köbszám [53] . $n$ $Q_{n}$

A köbszám kifejezése tetraéderben [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, hol .

n > 2

Az egyik „ Pollock-sejtés ” (1850): minden természetes szám legfeljebb kilenc köbös szám összegeként ábrázolható. A 20. század elején bevált. Általában hét kocka is elegendő, de 15 számhoz nyolc (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, OEI1888 sorozat ) és kettőben OEI889 . számok mind a kilencre szükség van: 23 és 239. Ha az összeadás mellett a kivonás is megengedett, akkor öt kocka is elegendő (esetleg négy is, de ez még nem bizonyított) [54] .

A köbszámok generáló függvénye [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Oktaéderszámok Dodekaéder számok Ikozaéder számok

Többdimenziós általánosítások

A fent leírt háromdimenziós struktúrák négy vagy több dimenzióra általánosíthatók. A tetraéder számok analógjai a dimenziós térben a szimplex számok, amelyeket hipertetraédernek is neveznek [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Különleges eseteik a következők:

$S_{n}^{[2]}$ háromszög alakú számok .
$S_{n}^{[3]}$ tetraéder számok .
$S_{n}^{[4]}$ pentatop számok .

A többdimenziós számok egyéb fajtái hiperkocka : . A négydimenziós hiperköbös számokat bi -négyzetnek nevezzük [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ ${\megjelenítési stílus (d=4)}$

Egynél több fajtából származó számok

Egyes figuratív számok egynél több sík- és/vagy többdimenziós számhoz is tartozhatnak, a lapos számokra fentebb már volt példa . A többdimenziós számok esetében ez meglehetősen ritka helyzet [56] .

Öt szám (és csak ezek) háromszög és tetraéder ( A027568 szekvencia az OEIS -ben ). $1,10,120,1540,7140$
A négy szám háromszög és négyzet alakú piramis ( A039596 sorozat az OEIS -ben ). $1,55,91,208335$
Három szám lapos négyzet és tetraéder ( A003556 sorozat az OEIS -ben ). $1,4,19600$
Két szám egyszerre lapos négyzet és négyzet gúla. Ez az állítás „ Luc hipotézise ” vagy „ ágyúgolyó-probléma ” néven vált ismertté (1875). A teljes megoldást 1918-ban George Neville Watson adta [57] . $1.4900$

Az 1 kivételével egyetlen természetes szám sem lehet egyidejűleg [58] [56] :

háromszög és köbös;
háromszög és kétszögletű [59] ;
háromszög és egy egész szám ötödik hatványa [58] ;
középre hatszögletű és köbös.

1988-ban F. Bakers és J. Top bebizonyította, hogy az 1-en kívül egyetlen szám sem lehet egyszerre tetraéder és négyzet alakú piramis [60] . Az is bebizonyosodott, hogy nincsenek olyan számok, amelyek egyszerre [56] :

tetraéderes és köbös;
négyzet alakú piramis és köbös;
tetraéderes és biquadratikus;
négyzet alakú piramis és bi-négyzet.

A göndör számok archaikus típusai

Az ókorban, amikor az aritmetikát nem választották el a geometriától, a püthagoreusok (Kr. e. 6. század) több figurális számtípust is megkülönböztettek [61] .

A lineáris számok „csak egységgel mért” számok, vagyis a modern terminológiában prímszámok (Eukleidész az „ első számok ” kifejezést használja, más görög πρώτοι αριθμοί ).
A lapos (vagy lapos) számok olyan számok, amelyek két, egynél nagyobb tényező szorzataként ábrázolhatók, azaz összetett .
- Speciális esetek a téglalap alakú számok ( a forrásokban néha " hosszúkás " -nak is nevezik ), amelyek két egymást követő egész szám szorzata [62] , azaz a következő alakú $n(n+1),n\geqslant 0.$
A tömör számok olyan számok, amelyek három, egynél nagyobb tényező szorzataként ábrázolhatók.

Eukleidész kommentátora, D. D. Mordukhai-Boltovskoy kifejti [63] :

A "sík" és a "tömör" szám kifejezések valószínűleg a matematikai gondolkodás egy korábbi időszakának emlékei, amikor a szám és a geometriai kép még szorosabban összefüggött, amikor az objektumok számának egy absztrakt számmal való szorzatát úgy gondolták, hogy ezeknek az objektumoknak az elrendezése tárgysorokban mindegyikben, a téglalap területének kitöltésével. Ugyanez mondható el három szám szorzatáról is, amely az euklideszi terminológia szerint egy tömör szám. $a$ $b$ $b$ $a$

Jelenleg a prímszámok nem minősülnek figuratívnak, a "lapos szám" és a "folytonos szám" kifejezések pedig kikerültek a használatból [63] .

Szerep a számelméletben

Pascal-háromszög

A Pascal-háromszögből származó számok sokféle göndör számmal mutatnak kapcsolatot.

A Pascal-háromszög harmadik sorában háromszög alakú számok vannak, a negyediken pedig tetraéderes számok (lásd az ábrát). Ennek az az oka, hogy a -edik tetraéderszám az első háromszögszámok összege, amelyek a harmadik sorban találhatók. Hasonlóképpen a négydimenziós pentatop számok az ötödik sorban helyezkednek el , stb. Ezek mindegyike, mint a többi Pascal-háromszögben lévő szám, binomiális együttható . $n$ $n$

Így a Pascal-háromszög minden belső eleme figuratív szám, és ezek különböző változatai vannak ábrázolva. Minden vonal mentén balról jobbra növekvő dimenziójú hipertetraéder számok találhatók. Ismeretes, hogy a sorban lévő összes szám összege egyenlő , ebből következik, hogy az első sorokban lévő összes szám összege egyenlő a Mersenne-számmal , ezért a Mersenne-szám hipertetraéderes számok összegeként ábrázolható. [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Egyéb felhasználások

A számelmélet számos tétele megfogalmazható göndör számokkal. Például a katalán sejtés azt állítja, hogy tetszőleges méretű hiperköbös számok között csak egy pár különbözik 1-gyel: (2002-ben igazolva) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Bármely páros tökéletes szám háromszög [66] (és egyben hatszögletű, és a hatszögű szám száma kettő hatványa). Egy ilyen szám nem lehet egyszerre négyzet-, köb- vagy más hiperköbös szám [67] .

Legendre sejtése (1808, más néven Edmund Landau harmadik problémája ): az egymást követő négyzetszámok között mindig van prímszám . Még mindig nem bizonyított.

Az első középpontos háromszögszámok összege a dimenzió varázsnégyzetének "mágikus állandója" . Ugyanezt az állandót más módon is megkaphatjuk egy háromszögszámmal , vagy ha az összes természetes számot összeadjuk től- ig [68] . $n$ $(n>2)$ $n\szer n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ ${\displaystyle T_{n-1))$ $T_{n}$

Az 1-nél nagyobb Mersenne-szám nem lehet négyzet, köbös vagy más módon hiperköbös, de lehet háromszög alakú. Csak négy háromszög alakú Mersenne-szám létezik: , ezek keresése egyenértékű a Ramanujan-Nagel egyenlet természetes számokban történő megoldásával : . Mint kiderült, ennek az egyenletnek a megoldása csak az ( A060728 szekvencia az OEIS -ben ) esetén létezik, és esetén a megfelelő Mersenne-szám háromszög alakú lesz [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ ${\displaystyle M_{n-3))$

A Fermat-szám szintén nem lehet négyzet, köbös vagy más módon hiperköbös, de egyetlen esetben lehet háromszög: . A Fermat-szám szintén nem lehet tetraéder és hipertetraéder 2-nél nagyobb dimenziójú [64] . $F_{0}=3$

A Fibonacci-számok között csak három négyzetszám (0, 1 és 144) és négy háromszög (1, 3, 21, 55, OEIS sorozat A039595 ) található. Ha az ábrán látható módon elforgatjuk a Pascal-háromszöget, akkor a Fibonacci-számok a növekvő átlók mentén összegezhetők; ez a tény megadja a Fibonacci-szám kiterjesztését hipertetraéderszámokban [69] .

A Lucas -számok között van két négyzetszám (1 és 4), valamint három háromszögletű (1, 3, 5778) [69] .

A katalán számokat hipertetraéderes számokkal fejezzük ki a következőképpen [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

A göndör számokhoz szorosan kapcsolódó számok másik osztálya a második típusú Stirling-számok . Ez az osztály tartalmazza az összes háromszögszámot: , és a kifejezés egyenlő a sorrend 2. számával -dimenziós hiperköbös szám . Végül bármely -dimenziós hiperköbös szám a következő módon bővíthető [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\összeg _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\pontok (n-m+1)))

Jegyzetek

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 9.
↑ A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 p.
↑ Göndör számok // Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - S. 607 . — 847 p.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. tíz.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Mi a számelmélet. - M . : Tudás, 1970. - S. 56-57.
↑ Aritmetikai sorozat // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - V. 1. Archív példány 2013. november 13-án a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. tizenöt.
↑ Egy matematika tankönyv lapjai mögött, 1996 , p. ötven.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , p. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Sokszögszámok reciproka hatványainak összegei (23. képlet)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. tizennégy.
↑ Alexandriai Diophantus . Az aritmetika és a sokszögű számok könyve / Per. I. N. Veselovsky; Szerk. és megjegyzést. I. G. Bashmakova. - M. : Nauka, 1974. - S. 48. - 328 p. Archiválva 2007. április 24-én a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. A számtan a középkori Közel- és Közel-Keleten. - Taskent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 p. A könyv a cím ellenére nyomon követi a számfogalom történetét a legősibb idők óta.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Népszerű kombinatorika . - M . : Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 p. Archiválva : 2016. június 5. a Wayback Machine -nél
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. tíz.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , p. 27.
↑ Weisstein, Eric W. Telescoping Sum a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Dickson, 2005 , p. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 19.
↑ 12. Dickson , 2005 , p. 2.
↑ Néhány véges számsorozat . Math24.ru . Letöltve: 2019. június 14. Az eredetiből archiválva : 2019. június 14. (Orosz)
↑ Kokhas K. P. Az inverz négyzetek összege // Matematikai oktatás. - 2004. - Kiadás. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Számok particionálása. : [ arch. 2019. augusztus 9. ] // Kvant magazin. - 1988. - 11. sz.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 37-38.
↑ Valóban, legyen (minden szám egész szám) egész szám , és , másodprímek. Mindkét oldalt megszorozva -vel , akkor kapjuk: . A jobb oldalon egy egész szám található, ezért osztja , és az általánosított Eukleidész lemmája szerint osztja a . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ $bn_{1}$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Beyond the Basel Problem: Summ of Figurate Numbers Reciprocals archivált 2019. december 29. a Wayback Machine -nél
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 46.
↑ Dickson, 2005 , p. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 239.
↑ Frederick Pollock. A végsõ sokszögszámokra vonatkozó Fermat-tétel elvének kiterjesztése olyan sorozatok magasabb rendjére, amelyek különbségei állandók. Egy új tétellel, amely minden rendre alkalmazható // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : Journal. - 1850. - Kt. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematika és sakk // Az aritmetikatanár. - 1974. - 1. évf. 21, sz. 5 (május). - P. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , p. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 77-78.
↑ Watson GN A négyzet alakú piramis problémája // Messenger. Math. 1918. évf. 48. P. 1-16.
↑ 1 2 A pingvin szótára érdekes és érdekes számokról . Letöltve: 2021. március 9.
↑ Dickson, 2005 , p. nyolc.
↑ Beukers F., Top J. Narancsokról és integrálpontokról bizonyos sík köbös görbéken // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - 1. évf. 6, sz. 3. - P. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. A tudomány fogalmának alakulása (az első tudományos programok kialakulása és fejlődése) 2014. augusztus 19-i archív másolat a Wayback Machine -nél , 1. fejezet M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Természettudományi és Matematikai Tudományok Történeti Enciklopédia, 1. kötet : [ arch. 2021. november 11. ]. - Springer-Verlag, 2009. - P. 161. - (Springer referencia). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Eukleidész kezdetei / Görög fordítás és D. D. Mordukhai-Boltovsky megjegyzései M. Ya. Vygodsky és I. N. Veselovsky szerkesztői közreműködésével . - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (A természettudomány klasszikusai).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , p. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 196-197.
↑ Egy matematika tankönyv lapjai mögött, 1996 , p. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 214-215.

Irodalom

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Egy matematika tankönyv lapjai mögött: Számtan. Algebra. Geometria . - M . : Oktatás, 1996. - S. 48 -52. — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematika története az iskolában (4-6. osztály). - M . : Nevelés, 1964. - S. 84-86. — 376 p.
Deza E. A természeti sorozat speciális számai: Tankönyv .. - M . : "LIBROKOM" könyvesház, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Göndör számok. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Számtantörténet . Útmutató tanároknak . - Szerk. második. - M . : Nevelés, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Megjegyzések a sokszögszámokról Euler-füzetekben // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1983. - 27. sz . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Pitagorasz háromszögek. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 p.
Stillwell D. 3. fejezet Görög számelmélet // Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004.
Dickson LE sokszögű. piramis és alakos számok //A számelmélet története . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diophantine Analysis. - P. 22-23.

Linkek

Göndör számok . OSNOVA Kiadócsoport. Hozzáférés időpontja: 2021. február 10. (Orosz)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
- Weisstein, Eric W. Polygonal Numbe (angol nyelven) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 7532594-9

göndör számok

lakás

Klasszikus sokszögű	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Dodecagonal
Középre állított	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Kilencszögű Tízszögű

Piramis alakú	tetraéderes Négyzet alakú piramis
sokrétű	kocka alakú Oktaéder Dodekaéder ikozaéder Csillagozott oktaéder

sokrétű	Pentatopic Bisquare

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor