Eukleidész lemmája

A cikkben szereplő összes számot egész számnak tekintjük, hacsak másképp nem jelezzük.

Euklidész lemmája az elemi számelmélet klasszikus eredménye . Euklidész elemei VII. könyvének 30. mondataként van megfogalmazva, és ez a kulcs az aritmetika alaptételének bizonyításához . Modern megfogalmazás [1] :

Ha több tényező szorzata osztható egy prímmel , akkor legalább az egyik tényező osztható -vel . $p$ $p$

Példa. A 19 egy prímszám, és osztja Ezért az egyik tényező osztható 19-cel, nevezetesen: $19019=133\cdot 143.$ $133=19\cdot 7.$

Ha nem prímszám, akkor a tétel meghiúsulhat. Példa: osztható 20-zal, de egyik tényező sem osztható 20-zal. $p$ $4\cdot 15=60$

Bizonyítás

Legyen osztható -vel , de ne osztható -vel . Akkor és a koprím , ezért vannak egész számok és ilyenek $x\cdot y$ $p$ $x$ $p$ $x$ $p$ $u$ $v$

x\cdot u+p\cdot v=1

Mindkét oldalt megszorozva -vel , azt kapjuk $y$

(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.

A bal oldalon lévő mindkét tag osztható -vel , ami azt jelenti, hogy a jobb oldal is osztható -val stb . [2] $p$ $p$

Ha a szorzat osztható -vel és koprímmal , akkor [3] osztható -vel $időszámításunk előtt$ $a$ $a,b$ $c$ $a.$

Euklidész lemmája nem csak az egész számok gyűrűjére érvényes, hanem más faktoriális gyűrűkre is , ahol a prímszámok szerepét irreducibilis elemek játsszák . Különösen az euklideszi gyűrűkre érvényes [4] , például:

↑ Vinogradov, 1952 , p. húsz.
↑ Kaluznin L. A. Az aritmetika alaptétele . - M .: Nauka, 1969. - P. 13 (4. tétel). — 32 s. - ( Népszerű matematikai előadások ).
↑ Bukhshtab A. A. Számelmélet. - M . : Oktatás, 1966. - 46. o. (41. tétel). — 384 p.
↑ Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1968. - S. 89 -90. — 564 p.

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai. - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Zsikov V.V. Az aritmetika alaptétele // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , 3. sz . - S. 112-117 .

`* Weisstein, Eric W. Euclid Lemma (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .