Stirling-számok a második fajtából

A kombinatorikában a második típusú Stirling-szám n - től k - ig , amelyet vagy jelöl, egy n - elem rendezetlen partícióinak száma, amelyek k nem üres részhalmazba vannak beállítva . $S(n,k)$ $\textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace$

Rekurzív reprezentációk

A második típusú Stirling-számok kielégítik a visszatérő összefüggéseket:

1) számára .

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)

0<k\leq n

2) .

S(n,k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}S(j,k-1)

természetes kezdeti körülmények között , órakor és órakor .

S(0,0)=1

S(n,0)=0

n>0

S(j,k)=0

k>j

Explicit formula

S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{{j=0}}^{k}(-1)^{{k+j}}{\binom { k}{j}}j^{n}.

Értéktáblázat a $0\leq n,k\leq 9$

n\k	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
0	egy
egy	0	egy
2	0	egy	egy
3	0	egy	3	egy
négy	0	egy	7	6	egy
5	0	egy	tizenöt	25	tíz	egy
6	0	egy	31	90	65	tizenöt	egy
7	0	egy	63	301	350	140	21	egy
nyolc	0	egy	127	966	1701	1050	266	28	egy
9	0	egy	255	3025	7770	6951	2646	462	36	egy

Tulajdonságok

$x^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}S(n,k)\cpont (x)_{k},$ ahol $(x)_{k}=x(x-1)\cdots (x-k+1).$
$S(m,n)=\sum _{{i=n-1}}^{{m-1}}{\binom {m-1}{i}}\,S(i,n-1)$
$\sum _{{m=0}}^{n}S(n,m)=B_{n}$ a Csengő száma .

Lásd még

Linkek

Weisstein, Eric W. Stirling Második típusú szám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
D. Beleshko Kombinatorika (2. rész) . Szentpétervári Állami Egyetem ITMO.