Négyzet háromszög szám

A számelméletben a négyzet háromszög szám (vagy háromszög négyzetszám ) olyan szám, amely háromszög és négyzet alakú is . Végtelen sok négyzet alakú háromszög szám létezik .

Például a 36-os szám négyzet ( ) és háromszög alakú is : $6\times 6$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

A négyzet alakú háromszög számok sorozatot alkotnak:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, ... ( A001110 sorozat az OEIS -ben ).

Képletek

A k - adik négyzetháromszög számra N k -t , a négyzet és a háromszög oldalára s k -t és t k -t írunk , majd

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Az Nk , sk és tk szekvenciák jelen vannak az OEIS - ben ( A001110 , A001109 és A001108 ).

1778-ban Leonhard Euler megalkotta az explicit formulát [1] [2] :12-13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\jobbra)^{2}.

Egyéb ekvivalens képletek, amelyek ebből a képletből származtathatók:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\jobbra)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\jobbra)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\jobbra).\end{igazított}}

Az s k és t k megfelelő kifejezett képlete [2] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ négyzetméter {2}}}}

és

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Pell-egyenlet

A négyzetes háromszögszámok összekapcsolása a Pell-egyenlettel a következőképpen érhető el [3] :

bármely háromszögszám t ( t + 1)/2 alakú, ezért meg kell találnunk t és s számokat úgy , hogy

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

A bal és jobb oldali részt megszorozva 8-cal, és kiválasztva egy teljes négyzetet, azt kapjuk

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

behelyettesítve most x = 2 t + 1 és y = 2 s , megkapjuk a Diofantusz egyenletet

x^{2}-2y^{2}=1,

ami a Pell-egyenlet . Ennek az egyenletnek a megoldásai a P k Pell-számok [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

és ezért minden megoldást a képletek adnak meg

s_{k}={\frac {P_{2k)){2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

A Pell-számokhoz sok azonosság kapcsolódik, és a fenti képletek lefordítják őket négyzetes háromszögszámokkal rendelkező azonosságokká.

Ismétlődő kapcsolatok

Vannak ismétlődési relációk a négyzetes háromszögszámokra, valamint a megfelelő négyzetek és háromszögek oldalaira. Van [5] :(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2))}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

És még [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Egyéb tulajdonságok

Minden négyzet háromszög szám b 2 c 2 alakú , ahol b / c a 2 négyzetgyökének folytonos történek konvergens értéke [6] .

AV Sylwester egy rövid bizonyítékot adott a négyzetes háromszögszámok végtelenségére, nevezetesen [7] :

Ha az n ( n + 1)/2 háromszögszám négyzet, akkor van egy nagyobb háromszögszám:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

És ennek az értéknek négyzetnek kell lennie, mert ez három négyzet szorzata: (nyilvánvalóan), (az n-edik háromszög számnak négyzetnek kell lennie), és (nyilvánvalóan). $2^{2}$ ${\megjelenítési stílus (n(n+1))/2}$ $(2n+1)^{2}$

A négyzetes háromszögszámok generáló függvénye [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Számértékek

Ahogy k növekszik , a t k / s k arány a -ra, a szomszédos négyzetháromszögszámok aránya pedig -ra hajlik . ${\sqrt {2}}\approx 1,41421$ $17+12{\sqrt {2}}\kb. 33,97056$

{\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& : 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{tömb}}

Jegyzetek

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . A számelmélet története (angol) . - Providence: American Mathematical Society, 1999. - Vol. 2. - P. 16. - ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite solvendi (Könnyű szabály az integrálszámokkal gyorsan megoldandó diofantusi problémákhoz) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - Kt. 4 . - P. 3-17 . . – A feljegyzések szerint a Szentpétervárnak mutatták be. A Pétervári Akadémia 1778. május 4-én.
↑ Barbeau, Edward. Pell egyenlete . - New York: Springer, 2003. - P. 16-17. — (Matematikai feladatkönyvek). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E.M. Bevezetés a számelméletbe . — 5. - Oxford University Press , 1979. - P. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - "244. tétel".
↑ Weisstein, Eric W. Háromszög négyzetszám a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Ball, W.W. Rose ; Coxeter , HSM matematikai rekreációk és esszék . - New York: Dover Publications , 1987. - 59. o . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M. Warten. Elemi feladatok és megoldások: E 1473, Négyzetes háromszögszámok // American Mathematical Monthly : folyóirat . - Mathematical Association of America, 1962. - február ( 69. kötet , 2. szám ). - 168-169 . o . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon 1031 Függvénygenerálás (PDF) A.129. Quebeci Egyetem, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (1992. augusztus). Letöltve: 2009. május 11. Az eredetiből archiválva : 2013. február 6.. (határozatlan)

Linkek

Háromszög alakú számok, amelyek négyzetesek is . Archiválva : 2006. április 27., a Wayback Machine at the cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Michael Dummett megoldása archiválva 2021. február 13-án a Wayback Machine -nél

göndör számok

lakás

Klasszikus sokszögű	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Dodecagonal
Középre állított	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Kilencszögű Tízszögű

Piramis alakú	tetraéderes Négyzet alakú piramis
sokrétű	kocka alakú Oktaéder Dodekaéder ikozaéder Csillagozott oktaéder

sokrétű	Pentatopic Bisquare