Tetraéder szám

A tetraéder számok , más néven háromszög piramis számok olyan figuratív számok , amelyek egy piramist ábrázolnak , amelynek alján egy szabályos háromszög található . A sorrendben lévő tetraéderszám az első háromszögszámok összege : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\pontok +T_{n))

Tetraéder számsorozat eleje:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( OEIS A000292 szekvencia ).

Képlet

A tetraéderszám általános képlete a következő: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

A képlet binomiális együtthatókkal is kifejezhető :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Tulajdonságok

A tetraéder számok a Pascal-háromszög minden sorában a 4. pozícióban vannak .

Csak három tetraéder szám négyzetszám :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Öt tetraéder szám egyszerre háromszög alakú ( A027568 sorozat az OEIS -ben ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Az egyetlen piramisszám , amely négyzetes és köbös is, az 1.

Látható, hogy:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

A reciprok tetraéderszámok sorozata teleszkópos , ezért konvergál:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

Pollock egyik „sejtése ” (1850): minden természetes szám legfeljebb öt tetraéder szám összegeként ábrázolható. Még nem bizonyított, bár minden 10 milliárdnál kisebb számra tesztelték [1] [2] .

Többdimenziós általánosítás

A háromdimenziós tetraéderszámok négy vagy több dimenzióra általánosíthatók, hasonlóan a háromszögszámokról a tetraéderekre való átmenethez. A tetraéder számok analógjai a dimenziós térben a szimplex számok, amelyeket hipertetraédernek is neveznek [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Különleges eseteik a következők:

$S_{n}^{[2]}$ háromszög alakú számok .
$S_{n}^{[3]}$ tetraéder számok .
$S_{n}^{[4]}$ pentatop számok .

Jegyzetek

↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 239.
↑ Frederick Pollock. A végsõ sokszögszámokra vonatkozó Fermat-tétel elvének kiterjesztése olyan sorozatok magasabb rendjére, amelyek különbségei állandók. Egy új tétellel, amely minden rendre alkalmazható // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : Journal. - 1850. - Kt. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 126-134.

Irodalom

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Egy matematika tankönyv lapjai mögött: Számtan. Algebra. Geometria . - M . : Oktatás, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. A matematika története az iskolában . - M . : Nevelés, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Göndör számok. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Linkek

göndör számok
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A tetraéderszám-képlet geometriai bizonyítása, Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .
A kettős összegzés és a tetraéderszámok kapcsolatáról Marco Ripà

göndör számok

lakás

Klasszikus sokszögű	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Dodecagonal
Középre állított	háromszög alakú Négyzet Ötszögű Hatszögletű Hétszögletű Nyolcszögű Kilencszögű Tízszögű

Piramis alakú	tetraéderes Négyzet alakú piramis
sokrétű	kocka alakú Oktaéder Dodekaéder ikozaéder Csillagozott oktaéder

sokrétű	Pentatopic Bisquare