Negyedik fokozat (algebra)

Egy szám negyedik hatványa ( ) négy azonos szám szorzatával egyenlő szám [1] .

A szám negyedik fokát gyakran nevezik biquadrátának [2] , a másik görögből. δίς , ( bis ), "kétszer", mivel ez két négyzet és egy négyzet négyzetének szorzata:

Tulajdonságok

A valós szám negyedik hatványa , akárcsak a szám négyzete, mindig nem negatív értékeket vesz fel [3] .

A negyedik hatványra emeléssel fordított művelet a negyedik fok gyökének kinyerése [4] .

A negyedik fokú egyenlet az ötödik fokú egyenlettől eltérően mindig megoldható úgy, hogy a választ gyökökbe írjuk ( Abel tétel [5] , Ferrari módszere [5] ).

Bisquare számok

Definíció

A természetes számok negyedik hatványát gyakran bikvadratikus vagy hiperköbös számoknak nevezik (ez utóbbi kifejezés a negyediknél nagyobb hatványokra is alkalmazható). A négyzet alakú számok figuratív számok osztálya , amelyek négydimenziós kockákat ( teleraktokat ) képviselnek. A négyzetes számok a lapos négyzet és a térköbös számok négydimenziós általánosítása [6] .

Bi-négyzet számsorozat eleje:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ... ( A000583 sorozat az OEIS -ben ).

Az n-edik bi-négyzetszám általános képlete :

Newton binomiális képletéből :

könnyen levezethető a rekurzív képlet [6] :

Kétnegyedes számok tulajdonságai

A két-négyzetszám utolsó számjegye csak 0 (valójában 0000), 1, 5 (valójában 0625) vagy 6 lehet.

Bármely bikvadratikus szám egyenlő a [8] forma első " rombododekaéder számainak " [7] összegével .

Minden természetes szám legfeljebb 19 bi-négyzet szám összegeként ábrázolható [9] . A jelzett maximum (19) elérve a 79-es számnál:

Minden 13792-nél nagyobb egész szám legfeljebb 16 négyzetes szám összegeként ábrázolható (lásd Waring problémáját ).

Fermat utolsó tétele szerint két bi-négyzet szám összege nem lehet bi-négyzet szám [10] . Euler sejtése szerint három bi-négyzet szám összege sem lehet bi-négyzet szám; 1986-ban Noam Elkis találta meg az első ellenpéldát, amely cáfolja ezt az állítást [11] :

Jegyzetek

  1. ↑ Fokozat // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5. - S. 221.
  2. ↑ Chernyshev V.I. A modern orosz irodalmi nyelv szótára: A-B. M .: A Szovjetunió Tudományos Akadémia Orosz Nyelvi Intézete, 1950, 451. o.
  3. ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alpha  (angol) . www.wolframalpha.com . Hozzáférés időpontja: 2021. április 4.
  4. ↑ Gyökér // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
  5. ↑ 1 2 Rybnikov K. A. A matematika története . - Moszkvai Egyetem Kiadója, 1963. - 346 p.
  6. ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 131-132.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedral Number  a Wolfram MathWorld weboldalán .
  8. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 132.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Waring problémája  a Wolfram MathWorld webhelyen .
  10. ↑ Fermat tétel // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
  11. ↑ Noam Elkies . On A 4 + B 4 + C 4 = D 4  // Számítási matematika [  . - 1988. - 1. évf. 51 , sz. 184 . - P. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .

Irodalom

Linkek