Hilbert rövid aritmetikája a félcsoport példája , illusztrálva, hogy az aritmetika főtételének bizonyításához nemcsak a szorzás , hanem az összeadás tulajdonságait is használni kell . Ez a példa David Hilbertnek köszönhető [1] .
A Hilbert-féle rövid aritmetika a következő alakú számok halmaza , ahol minden természetes számon átfut [2] :
Néha Hilbert -számoknak hívják [3] . Ezen a halmazon a szorzás standard művelete helyesen definiálható, mivel a halmazból két szám szorzata ismét ebből a halmazból ad egy számot: . Így a rövid Hilbert aritmetika egy félcsoport .
A Hilbert aritmetikában a prímszámokat ( Hilbert prímek [a] ) a szokásos módon lehet definiálni : egy Hilbert-számot Hilbert-prímnek nevezünk , ha nem osztható kisebb Hilbert-számmal (kivéve ) [5] [6] . A Hilbert prímszámok sorozata így kezdődik [7] :
A Hilbert prím nem feltétlenül a szokásos értelemben vett prím . Például összetett a természetes számokban , mert azonban egy Hilbert-prím, mivel sem a , sem (vagyis a szám osztói, kivéve magát a számot) nem Hilbert-számok. A modulo szorzás tulajdonságaiból következik , hogy a Hilbert-prím vagy az alak prímszáma (az ilyen számokat Pythagorean prímeknek nevezzük ), vagy a forma félig egyszerű száma .
Bármely Hilbert-szám felbontható Hilbert-prímek szorzatára, azonban az aritmetika alaptétele nem állja meg röviden a Hilbert-számítást : egy ilyen felosztás nem feltétlenül egyedi. Például egy Hilbert-szám, de kétféleképpen bomlik fel Hilbert-prímekre:
.ahol a , és számok Hilbert-prímek [1] [4] .