Hilbert rövid számtan

A stabil verziót 2022. április 17-én nézték meg . Ellenőrizetlen változtatások vannak a sablonokban vagy a .

Hilbert rövid aritmetikája  a félcsoport példája , illusztrálva, hogy az aritmetika főtételének bizonyításához nemcsak a szorzás , hanem az összeadás tulajdonságait is használni kell . Ez a példa David Hilbertnek köszönhető [1] .

Definíció

A Hilbert-féle rövid aritmetika a következő alakú számok halmaza , ahol minden természetes számon átfut [2] :

Néha Hilbert -számoknak hívják [3] . Ezen a halmazon a szorzás standard művelete helyesen definiálható, mivel a halmazból két szám szorzata ismét ebből a halmazból ad egy számot: . Így a rövid Hilbert aritmetika egy félcsoport .

Hilbert prímszámok

A Hilbert aritmetikában a prímszámokat ( Hilbert prímek [a] ) a szokásos módon lehet definiálni : egy Hilbert-számot Hilbert-prímnek nevezünk , ha nem osztható kisebb Hilbert-számmal (kivéve ) [5] [6] . A Hilbert prímszámok sorozata így kezdődik [7] :

A Hilbert prím nem feltétlenül a szokásos értelemben vett prím . Például összetett a természetes számokban , mert azonban egy Hilbert-prím, mivel sem a , sem (vagyis a szám osztói, kivéve magát a számot) nem Hilbert-számok. A modulo szorzás tulajdonságaiból következik , hogy a Hilbert-prím vagy az alak prímszáma (az ilyen számokat Pythagorean prímeknek nevezzük ), vagy a forma félig egyszerű száma .

Az aritmetika alaptételének teljesíthetetlensége

Bármely Hilbert-szám felbontható Hilbert-prímek szorzatára, azonban az aritmetika alaptétele nem állja meg röviden a Hilbert-számítást : egy ilyen felosztás nem feltétlenül egyedi. Például egy Hilbert-szám, de kétféleképpen bomlik fel Hilbert-prímekre:

.

ahol a , és számok Hilbert-prímek [1] [4] .

Jegyzetek

Megjegyzések

  1. Kostrikin tankönyvében ezeket kvázi-prímszámoknak nevezik [4] .

Források

  1. 1 2 Zsikov V. V. Az aritmetika alaptétele  // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , 3. sz . - S. 113 . Az eredetiből archiválva : 2018. november 23.
  2. OEIS szekvencia A016813 _
  3. Flannery S. , Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. - Profilkönyvek, 2000. - 35. o.
  4. 1 2 Kostrikin A. I. Bevezetés az algebrába. - M . : Nauka, 1977. - S. 72-73. — 496 p.
  5. Don Redmond. Számelmélet: Bevezetés a tiszta és alkalmazott matematikába . – CRC Press, 1996.04.23. - S. 30. - 784 p.
  6. James J. Tattersall. Elemi számelmélet kilenc fejezetben . - Cambridge University Press, 1999. 10. 14. - S. 84. - 420 p.
  7. OEIS szekvencia A057948 _

Linkek