Haver számok

A barátságos számok  két vagy több természetes szám , amelyeknek ugyanaz a redundancia indexe , a számok osztóinak összegének és magának a számnak az aránya. Két azonos redundanciájú szám baráti párt alkot , n azonos redundanciájú szám pedig egy barátságos n -sort .

A barátság egy ekvivalencia reláció , és ezért a pozitív természetes számok partícióját generálja a páronkénti barát számok klubjaiba ( ekvivalencia osztályaiba ).

Az olyan számot, amely nem része egyetlen baráti párnak sem, remetének nevezzük .

Az n szám redundanciaindexe  egy racionális szám , melyben az osztók összegét jelenti . Egy n szám barátságos, ha létezik olyan, hogy . Vegye figyelembe, hogy a redundancia nem ugyanaz, mint a többlet , amelyet a következőképpen határoznak meg .

A redundanciát úgy is kifejezhetjük , hogy ahol c osztófüggvénye egyenlő n osztói k -edik hatványainak összegével .

Az 1-től 5-ig terjedő számok remeték. A legkisebb baráti szám a 6, amely 28-cal párosul, redundancia indexe pedig . A 2 összértéke ebben az esetben egész szám, ami sok más esetben nem igaz. A 2-es redundanciaindexű számokat tökéletes számoknak is nevezik . Számos megoldatlan probléma van a baráti számokkal kapcsolatban.

A nevek hasonlósága ellenére nincs közvetlen kapcsolat a baráti számok és a baráti számok vagy a társszámok között, bár ezeknek a számoknak a definíciói is használják az osztófüggvényt.

Példák

A táblázatban a kék számok barátságosnak bizonyultak ( A074902 szekvencia az OEIS -ben ), a piros számok remeték ( A095739 szekvencia az OEIS - ben ), az n számok , amelyek viszonylag prímek c -hez ( A014567 szekvencia az OEIS -ben ) itt nincsenek színezve , bár nyilvánvalóan remeték. A fennmaradó számok állapota ismeretlen, és sárga színnel vannak kiemelve .

n n n n
egy egy egy 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 négy 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
négy 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 nyolc 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
nyolc tizenöt 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
tíz tizennyolc 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
tizenegy 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 tizennégy 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
tizennégy 24 12/7 ötven 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
tizenöt 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 tizennyolc 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
tizennyolc 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 húsz 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
húsz 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 harminc 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
harminc 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Egy másik példa, hogy a 30 és 140 baráti párt alkot, mert a 30 és 140 ugyanazzal a redundancia indexszel:

A 2480-as, 6200-as és 40640-es számok a klub tagjai, hiszen mindhárom szám 12/5-ös redundancia-indexe.

Példaként a páratlan baráti számokra vegyük a 135-öt és a 819-et (redundancia indexe 16/9). Vannak olyan esetek is, amikor a páros számok barátkoznak a páratlanokkal, például 42 és 544635 (index 16/7).

A tökéletes négyzet lehet baráti szám, például a 693479556 (a 26334 négyzete) és a 8640 redundancia indexe 127/36 (ezt a példát Dean Hickerson készítette).

Remete számok

Az egyelemű klubhoz tartozó számok, mivel nincs velük barátkozó szám, remeték. Minden prímszám remete. Általánosabban fogalmazva, ha az n és számok másodlagosak , azaz ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója 1, és ezért egy irreducibilis tört, akkor az n szám remete ( A014567 sorozat az OEIS -ben ). Egy p prímszámra van , és ez a szám relatív prímszám p -hez képest .

Nem ismert általános módszer annak meghatározására, hogy egy szám remete- vagy barátszám-e. A legkisebb szám, amelynek besorolása ismeretlen (2009-ben), a 10. Feltételezhető, hogy remete, ha nem, akkor a legkisebb barátja meglehetősen nagy szám, mint a 24-es szám, bár a 24. barátságos, legkisebb barátja a 91.963.648. A 10-es számhoz nincs baráti szám, amely kevesebb 2 000 000 000-nél [1] .

Nagy klubok

Nyitott probléma, hogy végtelenül nagy klubok vagy kölcsönösen barátságos számok vannak-e. A tökéletes számok egy klubot alkotnak, és van egy feltételezés, hogy végtelenül sok tökéletes szám van (legalább annyi, mint a Mersenne-számok ), de erre nincs bizonyíték. 2018-ra 50 tökéletes szám ismert, és a legnagyobb ismert szám több mint 46 millió számjegyből áll . Vannak klubok ismertebb tagokkal, különösen a multiperfect számok , azaz olyan számok, amelyek redundancia indexe egész szám. A 9-es indexű baráti számok klubjának 2013 elejére 2094 tagja volt [2] . Bár a többszörösen tökéletes számok klubjairól ismert, hogy meglehetősen nagyok (kivéve magukat a tökéletes számokat), vannak olyan sejtések, hogy ezek a klubok végesek.

Jegyzetek

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​2008 .

Irodalom