Prímszám hatványa

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a prímszám hatványa pozitív egész hatványra emelt prímszám .

Példák

Az 5 = 5 1 , 9 = 3 2 és 16 = 2 4 számok prímhatványok, míg a 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 és a 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 nem azok.

A prímszámok húsz legkisebb hatványa [1] :

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , 37 , 41 , …

Tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok

Egy prímszám minden hatványa csak egy prímszámmal osztható.
A prímek hatványainak eloszlásának sűrűsége aszimptotikusan egyenértékű a prímek sűrűségével -ig . $\pi(x)$ $O({\sqrt {x)))$
A prímszám bármely hatványa (a 2 hatványának kivételével) primitív gyöke . Így a modulo p n egész számok multiplikatív csoportja (vagy ekvivalens módon a Z / p n Z gyűrű egységeinek csoportja ) ciklikus .
Egy véges mező elemeinek száma mindig egy prím hatványa és fordítva, a prím bármely hatványa valamely véges mező elemeinek száma (az egyetlen az izomorfizmusig ).

Kombinatorikus tulajdonságok

A prímszámok hatványainak az analitikus számelméletben gyakran használt tulajdonsága, hogy a nem prímszámok hatványainak halmaza kicsi abban az értelemben, hogy reciprokáik végtelen összege konvergál , jóllehet a prímszámok halmaza egy nagy készlet.

Oszthatósági tulajdonságok

Egy prímszám hatványának Euler-függvénye ( φ ) és szigmafüggvénye ( σ 0 ) és ( σ 1 ) a következő képletekkel számítható ki:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \ bal (1 - \frac{1}{p}\jobb),

\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,

\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{ n+1} - 1}{p - 1}.

A prímszámok minden hatványa elégtelen szám . A p n prím hatványa n - majdnem prím . Nem ismert, hogy a p n prímhatványok lehetnek -e baráti számok . Ha léteznek ilyen számok, akkor p n - nek nagyobbnak kell lennie, mint 10 1500 , és n - nek nagyobbnak kell lennie 1400-nál.

Szükséges feltétel

$\forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Jobbra \gcd(a^{N-1}-1,N)>1$

Legyen a szám egy prímszám hatványa . Majd osztva . $N$ ${\displaystyle N=p^{k))$ $N-1$ $p-1$

Fermat kis tétele szerint nem oszt $\forall a\in \mathbb {N} :p$ $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m} >1,$ ahol $1\leqslant m\leqslant k$

Lásd még

Jegyzetek

↑ OEIS sorozat A000961 : prímek hatványai = Prímek hatványai

Irodalom

Jones, Gareth A. és Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elemi számelmélet. – London: Limited, 1998.