Tökéletes totient szám

A stabil verziót 2022. szeptember 29- én ellenőrizték . Ellenőrizetlen változtatások vannak a sablonokban vagy a .

A tökéletes teljes szám  egy egész szám , amely egyenlő az iterált totiensek (az Euler-függvény értékei) összegével. Ez azt jelenti, hogy alkalmazzuk az Euler-függvényt az n számra , és egymás után az összes eredményül kapott totiensre, amíg el nem érjük az 1-es számot, szekvenciálisan összeadva a kapott számokat. Ha az összeg n , akkor n tökéletes teljes szám. Algebrailag, ha

ahol

rekurzív iterált Euler-függvény, és c  egy olyan egész szám, amelyre

akkor n tökéletes totient szám.

Egy tökéletes totient szám értelemszerűen páratlan .

Néhány első tökéletes totient szám

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471 , 729 , 2187 , 35, 39, 35, 39, 39 A082897 szekvencia az OEIS -ben ).

Például 327-ből kiindulva kiszámítjuk a φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ( 2) = 1, akkor 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327.

Olyan számok, mint a(n)=2^(2^n)-1

Az űrlap több száma ( OEIS szekvencia A051179 ), mint például a 255 , 65 535 , 4 294 967 295 és 18 446 744 073 709 551 615 , tökéletes, és emellett a számok is tökéletesek. maximum előjel nélküli egész számok 8, 16, 32 és 64 bites változók. Ugyanabból a sorozatból a korábbi 3 -as és 15 -ös számok is tökéletes számok.

A hármas foka

Látható, hogy sok tökéletes totientszám osztható 3-mal. Valójában a 4375-ös szám a legkisebb tökéletes totiens szám, amely nem osztható 3-mal. A 3 minden hatványa tökéletes teljes szám, amely indukcióval mutatható ki a tény

Venkataraman (1975) talált egy másik tökéletes totientszám-családot – ha p = 4×3 k +1 prím, akkor 3 p tökéletes totientszám. A tökéletes totient számokhoz vezető k értékei a következő módon:

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... ( A005537 sorozat az OEIS -ben ).

Általánosabban, ha p egy 3-nál nagyobb prím , és 3 p tökéletes totientszám, akkor p ≡ 1 (mod 4) [1] . Nem minden ilyen p vezet tökéletes totient számokhoz. Így az 51 nem tökéletes szám. Ianucci, Deng és Cohen [2] kimutatta, hogy ha 9 p tökéletes teljes szám, akkor p prím, és a cikkben felsorolt ​​három alak egyike. Nem ismert, hogy vannak-e 3 k p alakú tökéletes teljes számok , ahol p prím és k > 3.

Jegyzetek

  1. ↑ Mohan, Suryanarayana, 1982 , p. 101–105.
  2. ↑ Iannucci, Deng, Cohen, 2003 , p. 03.4.5.

Irodalom

Megjegyzés : Az eredeti cikk a PlanetMath Perfect Totient Number cikkéből származó anyagokat tartalmazza a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported licenc alatt.