Tökéletes diploma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A tökéletes hatvány egy pozitív egész szám , amely egy pozitív egész szám egész hatványa : . Amikor a számot tökéletes (teljes) négyzetnek és tökéletes kockának nevezzük . Néha a 0 és 1 számokat is tökéletes hatványoknak tekintik (ahogyan bármelyik ) . $n$ $k$ $m$ ${\displaystyle n=m^{k))$ $k=2,3$ $n$ $0^{k}=0$ $1^{k}=1$ $k>0$

A tökéletes fokozatok sorozata a és a lehetséges értékek felsorolásával alakítható ki ; az első néhány tagja (beleértve az ismétlődőket is) [1] : $m$ $k$

2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^ {2}=25,\ 3^{3}=27,

2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^ {2}=64,\pont

Az első tökéletes fokozatok ismétlődések nélkül: [2] :

(néha 0 és 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 2 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Tulajdonságok

Az inverz tökéletes hatványok összege (beleértve a duplikációkat is, mint például ) 1: $3^{4}=9^{2}=81$

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k))}=1

ami a következőképpen igazolható:

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k))}=\sum _{m= 2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\ összeg _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m =2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)))=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1 ))-{\frac {1}{m}}\right)=1

A tökéletes hatványok (egyet nem számítva) reciprok sorozatának duplikátumok nélküli összege : [3] :

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k)) \kb 0{,}874464368\pont

ahol a Möbius-függvény és a Riemann-zéta-függvény . $\mu(k)$ $\zeta (k)$

Euler szerint az egyik elveszett levélben Goldbach megmutatta, hogy a tökéletes hatványok sorozatának egy és duplikátum nélküli sorozatának reciprok összege 1: $n_{i}-1$ $\{n_{i}\}$

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\ frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31 }}}+\cdots=1

néha ezt az állítást Goldbach-Euler tételnek nevezik .

2002-ben Preda Mihailescu bebizonyította, hogy az egyetlen egymást követő tökéletes hatványpár a , ezzel bizonyítva a katalán sejtést . $2^{3}=8,3^{2}=9$

Megoldatlan probléma Pillai sejtése , amely szerint bármely adott pozitív egész számra csak véges számú tökéletes hatványpár van, amelyek különbsége egyenlő . $k$ $k$

A tökéletes fokok azonosítása

Annak megállapítása, hogy egy adott természetes szám tökéletes hatvány-e, többféleképpen is elvégezhető, különböző bonyolultsági szintekkel . Az egyik legegyszerűbb ilyen módszer az összes lehetséges érték figyelembe vétele egy szám minden osztójára vonatkozóan -ig . Ha az osztók egyenlőek , akkor az egyik értéknek egyenlőnek kell lennie azzal, hogy ha valóban tökéletes hatvány. $n$ $k$ $n$ $k<n$ $n$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j))$ $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3} ,\pontok$ $n$ $n$

Ez a módszer azonnal leegyszerűsíthető, ha ehelyett csak prímértékeket veszünk figyelembe , mivel összetett esetén, ahol egy prímszám, átírható a következőre . Ebből következik, hogy a minimális értéknek szükségszerűen prímnek kell lennie. $k$ $k=ap$ $p$ ${\displaystyle n=m^{k))$ ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p))$ $k$

Ha ismert a teljes faktorizáció , például ahol különböző prímszámok vannak, akkor akkor és csak akkor tökéletes hatvány , ha ( a legnagyobb közös osztója ). Például a : mert , a tökéletes 12. hatvány (és a tökéletes 6. hatvány, 4. hatvány, kocka és négyzet, mivel 6, 4, 3 és 2 oszt 12-t). $n$ $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ $p_{i}$ $n$ $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ $\gcd$ $n=2^{9624}$ $\gcd(96,60,24)=12$ $n$

Jegyzetek

↑ OEIS szekvencia A072103 _
↑ OEIS szekvencia A001597 _
↑ Weisstein, Eric . Perfect Power (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Linkek

Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader és Jaume Paradís, Goldbach és Euler sorozatáról, 2004 (Pdf)

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám

Természetes számok osztályai

Hatványok és
kapcsolódó számok

A × 2 b ± 1
alakú számok

Egyéb
polinomszámok
_

Rekurzívan
meghatározott
számok

Meghatározott tulajdonságokkal
rendelkező számkészletek

Összegekben kifejezve

Nem hipotenúza
Gyakorlati
A fő félig egyszerű
Ulama
Wolsenholm

Szitával nyertük
_

szerencseszámok

Kapcsolódó kódok
_

Mirtens

göndör számok

2-dimenziós

középre _	háromszög alakú négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű nyolcszögű nem szögletes tízszögű csillagkép
off- center	háromszög alakú négyzet négyzet háromszög alakú hatszögletű nyolcszögű

3 dimenziós

középre _	tetraéderes kocka alakú oktaéderes dodekaéder ikozaéder
off- center	tetraéderes oktaéderes dodekaéder ikozaéder Csillag-oktaéder
piramis _	négyzet ötszögű hatszögletű hétszögletű

4 dimenziós

középre _	pentachorikus háromszög alakú négyzetben
off- center	pentatop

Ál-egyszerű

Carmichael
Catalana
elliptikus
Euler
Euler-Jacobi
Tanya
Frobenius
Luca
Somera - Luca
erős álegyszerű

kombinatív
számok

Aritmetikai
függvények

σ( n )	redundáns majdnem tökéletes számtan kolosszálisan felesleges Descartes féltökéletes számok rendkívül redundáns számok nagy komponensű számok hipertökéletes számok multitökéletes számok elkötelezett gyakorlati primitív redundáns kissé redundáns tau számok fenséges számok bőséges számok szuperkompozit számok szupertökéletes számok
Ω( n )	szinte egyszerű félig egyszerű
φ( n )	erősen kovalens nagy érzékenységű tökéletes beteg kissé türelmes
s( n )	barátságos foglalt elégtelen félig tökéletes

Eukleidész
szerencseszámok

Osztók szerint

Egyéb prímosztók
vagy az oszthatósággal
kapcsolatosak

Szórakoztató
matematika

Számrendszerek
_

automorf szám
ciklikus
Ozirisz
Dudeni
egyenlő számjegyek
extravagáns
Factorion
Friedman
elégedett
Nivena
Kita
Lichrel
hiányzó számjegyű összeg
Armstrong
palindromikus
pandigitális
parazita
káros
mágikus
primitív
repdigits
újraegyesül
saját generált
önleíró
Smarandsha – Wellena
szigorúan nem palindromikus
váltókarok
elmozdulás
trimorf
hullámos
vámpírok

Aronson sorozat
palacsintaszámok