Kolosszális túlzás

A kolosszálisan bőséges szám ( CA az angol  colossally abundant number szóból ) egy természetes szám , amelynek bizonyos szigorú értelemben sok osztója van: létezik olyan, hogy mindenki számára :

ahol az osztók összegének függvénye [1] . Minden kolosszálisan redundáns szám egyben szuperredundáns szám is , de ennek az ellenkezője nem igaz.

Az első 15 kolosszálisan redundáns szám [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440 , 720720 , 1441440 , 1441440 , 43241440 , 43241440 , 43241440 , 43241440 , 43243440 , 43243440 , 43243320 nagyon .

Történelem

A kolosszálisan többletszámokat először Ramanujan tanulmányozta, és eredményeit a szuperkompozit számokról szóló 1915-ös tanulmányába kellett beépíteni [3] . Sajnos annak a folyóiratnak a kiadója, amelyhez Ramanujan beküldte munkáját, a London Mathematical Society , akkoriban pénzügyi nehézségekkel küzdött, és Ramanujan beleegyezett, hogy a nyomtatási költségek csökkentése érdekében eltávolítsa a munka egyes aspektusait [4] . Következtetéseit főként a Riemann-hipotézis vezérelte , és ezzel a feltevéssel felső és alsó korlátot talált a kolosszálisan redundáns számok méretére, és bebizonyította, hogy ami Robin-egyenlőtlenség néven vált ismertté (lásd alább), az minden kellően nagy értékre érvényes. n [5] .

A számok osztályát némileg erősebb formában módosította Leonidas Alaoglu és Pal Erdős 1944 -es tanulmányában, amelyben megpróbálták kiterjeszteni Ramanujan eredményeit [6] .

Tulajdonságok

A kolosszálisan redundáns számok az egész számok számos osztályának egyike, amelyek megpróbálják megragadni a több osztó fogalmát. Pozitív n egész szám esetén a σ( n ) osztók összege megadja azoknak a számoknak az összegét, amelyek osztják n -t , beleértve az 1-et és magát az n -t is . Paul Bachmann kimutatta, hogy átlagosan σ( n ) körülbelül π 2 n /6 [7] . Eközben Grönwall tétele azt mondja, hogy a σ( n ) maximális sorrendje valamivel nagyobb, különösen az n egész számok növekvő sorozata van, így ezeknél az egész számoknál σ( n ) körülbelül akkora, mint e γ n log (log( n )), ahol γ az Euler-Mascheroni állandó [7] . Ezért a kolosszálisan redundáns számok magukba foglalják a többszörös osztó fogalmát, és megkövetelik, hogy bizonyos esetekben maximalizálják a függvény értékét.

minden értékhez . Bachmann és Grönwall eredményei garantálják, hogy ennek a függvénynek van maximuma, és mivel ε nullára hajlik, ezek a maximumok növekedni fognak. Így végtelenül sok kolosszálisan redundáns szám van, bár elég ritkák, és csak 22 kisebb 10 18 -nál [8] .

Minden ε-re a fenti függvénynek van maximuma, de nem nyilvánvaló, sőt nem is igaz, hogy minden ε esetében ez a maximális érték egyedi. Alaoglu és Erdős azt vizsgálták, hogy adott ε érték mellett hány különböző n értéke adhatja a fenti függvénynek ugyanazt a maximális értékét. Megmutatták, hogy ε legtöbb értékénél egyetlen n egész szám lesz , amely maximalizálja a függvényt. Később azonban Erdős és Jean-Louis Nicolas kimutatta, hogy ε diszkrét értékeinek egy bizonyos halmaza esetén n két vagy négy különböző értéke lehet , amelyek ugyanazt a maximális értéket adják [9] .

Alaoğlu és Erdős 1944-es írásukban azt javasolták, hogy két egymást követő kolosszálisan redundáns szám aránya mindig prímszám . Megmutatták, hogy ez a transzcendentális számelmélet négy exponenciális hipotézisének egy speciális esetéből következik , különösen, hogy bármely két különböző p és q prím esetén csak azok a t valós számok pozitív egész számok , amelyekre p t és q t is racionális számok. . A három prím megfelelő eredményét felhasználva - a hat exponenciális tétel speciális esetét , amelyet K. L. Siegel bizonyított - meg tudták mutatni, hogy két egymást követő kolosszálisan redundáns szám hányadosa mindig egyenlő vagy egy prímszámmal, vagy egy félprímszámmal . azaz csak két prímtényezőből álló szám . A hányados soha nem lehet prímszám négyzete.

Alaoglu és Erdős sejtése nyitva marad, bár legalább 10 7 -ig tesztelték [10] Ha igaz, akkor ez azt jelentené, hogy van egy olyan sorozat, ahol a p 1 , p 2 , p 3 ,... megkülönböztethetetlen prímek sorozata van. n - a kolosszálisan redundáns szám a következőképpen alakult:

Feltételezve, hogy a sejtés helyes, ez a prímsorozat 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2-vel kezdődik ( A073751 sorozat az OEIS -ben ). Alaoglu és Erdős sejtése azt is jelentené, hogy ε egyetlen értéke sem ad négy különálló n egész számot a fenti függvény maximumaként.

Kapcsolat a Riemann-hipotézissel

Az 1980-as években Guy Robin megmutatta [11] , hogy a Riemann-hipotézis egyenértékű azzal, hogy a következő egyenlőtlenség minden > 5040-re igaz: (hol van az Euler-Mascheroni állandó ):

Ez az egyenlőtlenség 27 szám esetén meghiúsul ( A067698 sorozat az OEIS -ben ):

Robin megmutatta, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor = 5040 az utolsó egész szám, amelynél hibás. Az egyenlőtlenséget ma Robin egyenlőtlenségeként ismerik munkája után. Robin egyenlőtlensége, ha nem is teljesül, köztudottan meghiúsul a kolosszálisan redundáns „n” szám esetében; így a Riemann-hipotézis gyakorlatilag ekvivalens Robin-egyenlőtlenséggel, amely minden kolosszálisan többletszámra érvényes, n > 5040.

2001–2002 - ben Lagarias [8] bemutatta Robin kijelentésének egy alternatív formáját , amely nem igényel kivételeket, és logaritmus helyett harmonikus számot használt :

Vagy 8 kivételtől eltekintve n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Linkek

1. ↑ K. Briggs, Excess numbers and the Riemann hypothesis , Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
2. ↑ OEIS szekvencia A004490 _
3. ↑ S. Ramanujan , " Supercomponent numbers ", Proceedings of the London Mathematical Society 14 (1915), 347–407. o., MR : 2280858 .
4. ↑ S. Ramanujan, Collected Papers , Chelsea , 1962.
5. ↑ S. Ramanujan, "Szuperkomponens számok. J.-L. Nicolas és G. Robin előszavával magyarázva", Ramanujan's Journal 1 (1997), 119–153.
6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), A szuperkomponens és hasonló számokról , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Archiválva : 2017. november 12. a Wayback Machine -nél . 
7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Bevezetés a számelméletbe. 5. kiadás , szerk. Oxfordi Egyetem , Oxford , 1979.
8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, A Riemann-hipotézissel egyenértékű elemi probléma Archiválva : 2014. október 10., a Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), 534–543 .
9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Distribution of overabundant numbers", Bulletin of the French Mathematical Society , 103 (1975), 65–90.
10. ↑ N. J. A. Sloan , Prímszámok, amelyek sorrendben megszorozva kolosszálisan redundáns számsorozatot adnak. Archiválva : 2021. április 16., a Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Alapítvány.
11. ↑ G. Robin, "Az osztóösszeg függvény nagy értékei és a Riemann-hipotézis", Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), 187–213.

Külső linkek

• Keith Briggs a kolosszálisan túlzott számokról és a Riemann-hipotézisről
• Bevezetés a MathWorldbe
• Megjegyzések a Riemann-hipotézishez és a többletszámokhoz
• További információ a Robin RH formulájáról