Szuperkompozit szám

A szuperkompozit szám olyan természetes szám , amelynek több osztója van, mint bármely kisebb természetes szám.

Történelem

A kifejezést Ramanujan javasolta 1915-ben. Jean-Pierre Cahane azonban már korábban is figyelembe vette őket, és már Platón is ismerte őket , aki az 5040 -es számot a város polgárainak ideális számának nevezte, mivel az 5040-nek több osztója van, mint bármely kisebb számnak. [egy]

Példák

A táblázat az első 38 szuperkompozit számot mutatja ( A002182 sorozat az OEIS -ben ).

szoba	szuperkompozit	bomlás egyszerűvé	szám osztók	felé való terjeszkedés primoriálisok
egy	egy		egy
2	2	$2$	2	$2$
3	négy	$2^{2}$	3	$2^{2}$
négy	6	$2\cdot 3$	négy	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	nyolc	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
nyolc	48	$2^{4}\cdot 3$	tíz	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
tíz	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
tizenegy	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	tizennyolc	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	húsz	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
tizennégy	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	harminc	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
tizenöt	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
tizennyolc	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
húsz	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
harminc	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Felbontás prímekre

A szuperkompozit számok dekompozíciója magában foglalja a legkisebb prímtényezőket, ugyanakkor nem túl sok azonosat.

Az aritmetika alaptétele szerint minden természetes szám egyedi prímszámokra bomlik: $n$

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1 )

ahol a prímek és hatványok pozitív egészek. Egy szám osztóinak száma a következőképpen fejezhető ki: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k))$ $c_{i}$ $d(n)$ $n$

d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)

Így egy szuperkompozit számra a következők teljesülnek: $n$

A számok az első prímszámok. ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k))$ $k$
A hatványsorozatnak nem növekvőnek kell lennie, azaz . ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k))$
- Ez a tulajdonság egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy egy szuperkompozit szám az őselemek szorzata .
Két speciális esetet leszámítva, n = 4 ÉS N = 36, az utolsó hatvány egy. $c_{k}$

Különösen az 1, 4 és 36 az egyetlen szuperkompozit négyzet.

Bár a fent leírt feltételek szükségesek, nem elegendőek. Például a 96 = 2 5 × 3 teljesíti az összes fenti feltételt, és 12 osztója van, de nem szuperkompozit, mert van egy kisebb 60-as szám, amelynek ugyanannyi osztója van.

Aszimptotikus növekedés és sűrűség

Vannak olyan a és b állandók, amelyek nagyobbak 1 -nél

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},

Ahol jelöli a szuperösszetett számok számát, amelyek kisebbek vagy egyenlőek, mint . $Q(x)$ $x$

Az egyenlőtlenség első részét Erdős Pál bizonyította 1944-ben; a másodikat Jean-Louis Nicholas bizonyította 1988-ban.

Az is ismert, hogy

1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}44

és

\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}71.

Tulajdonságok

Minden 6-nál nagyobb szuperkompozit szám redundáns .

Nem minden szuperkompozit szám Harshad-szám 10-es alapon;
- az első ellenpélda a 245044800 , ez a szám 27 számjegyből áll, de nem osztható 27-tel.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kahane, Jean-Pierre (2015. február), Bernoulli konvolúciók és önhasonló mértékek Erdős után: A személyes hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society 62. kötet (2): 136–140 .

Linkek

Ramanujan, S. Erősen összetett számok (neopr.) // Proc. London Math. szoc. (2). - 1915. - T. 14 . - S. 347-409 . - doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . ( Online archiválva 2014. szeptember 3-án a Wayback Machine -nél )
Számelmélet kézikönyve I (neopr.) . - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - S. 45-46. — ISBN 1-4020-4215-9 .
Erdös, P. Erősen összetett számokról (neopr.) // London Mathematical Society . - 1944. - T. 19 . - S. 130-133 . - doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130 .
Alaoglu, L. Az összetett erősen és hasonló számokról // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - 1. évf. 56 , sz. 3 . - P. 448-469 . - doi : 10.2307/1990319 .
Ramanujan, Srinivasa Erősen összetett számok (angol) // Ramanujan Journal : folyóirat. - 1997. - 1. évf. 1 , sz. 2 . - 119-153 . o . - doi : 10.1023/A:1009764017495 . Jegyzetekkel és előszavával Jean-Louis Nicolas és Guy Robin.

Linkek

Irodalom

O. Ore. Meghívó a számelméletbe . - M. : Nauka, 1980. - 128 p. — (A Quantum Library sorozat 3. száma). — 150.000 példány.

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám