Primorial

Primorial , primorial ( eng. Primorial ) - a számelméletben természetes számok sorozata feletti függvény , hasonlóan a faktoriális függvényhez, azzal a különbséggel, hogy az elsődleges egy adottnál kisebb vagy azzal egyenlő prímszámok szekvenciális szorzata , míg A faktoriális egy adott számnál kisebb vagy azzal egyenlő természetes számok szekvenciális szorzata.

Az "elsődleges" kifejezést Harvey Dubner amerikai mérnök és matematikus vezette be a tudományos forgalomba [1] .

Definíció prímszámokhoz

Az n - edik p n prímhez a p n # elsődleges definíciója az első n prímszám szorzata [2] [3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

ahol p k a k -edik prímszám.

Például a p 5 # az első 5 prímszám szorzatát jelöli:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Tehát az első hat primorial a következő:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (az OEIS A002110 sorozata a p 0 # = 1- et is tartalmazza üres szorzatként ).

Aszimptotikusan a p n # őselemek a szerint nőnek

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

hol van az "o" jelölés kicsi [3] . $o(\cdot )$

Definíció természetes számokhoz

Általánosságban elmondható, hogy egy n pozitív egész szám esetén az n # elsődleges definíciója az n - nél kisebb vagy azzal egyenlő prímszámok szorzata [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

ahol a prímek eloszlásfüggvénye ( A000720 sorozat az OEIS -ben ), amely megadja a prímek számát ≤ n , ami ekvivalens $\pi(n)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{when }}n>1.\end{cases}}

Például a 12# prímszámok szorzata, amelyek mindegyike ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Tehát így lehet kiszámolni $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Tekintsük az első 12 ősrégiót:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Látjuk, hogy az összetett számok esetében ennek a sorozatnak minden tagja egyszerűen megduplázza az előzőt. A fenti példában 12# = p 5 # = 11#, mivel a 12 egy összetett szám.

Az n # természetes logaritmus az első vagy -ként írt Csebisev-függvény , amely megközelíti a lineáris n -t nagy n érték esetén [ 5] . $\theta(n)$ $\vartheta (n)$

Primorials n # szerint nő

\ln(n\#)\sim n.

Jellemzők és alkalmazások

A prímszámok fontos szerepet játszanak a prímszámok számtani sorozatában a prímszámok megtalálásában . Például a 2236133941 + 23# számok összeadása olyan prímszámot eredményez, amely tizenhárom prímből álló sorozatot kezd, amelyet 23# egymás utáni hozzáadásával kaphat meg, és az 5136341251 számmal végződik. A 23# az aritmetika általános különbsége is. tizenöt és tizenhat prímszám progressziója.

Minden többrészes szám ábrázolható primoriálisok szorzataként (például 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Minden primoriális négyzetmentes , és mindegyiknek van prímosztója az őselemnél kisebb számból. Minden n primoriálisra az arány kisebb, mint bármely egész számra, ahol az Euler-függvény . $\phi (n)/n$ $\phi$

Mindegyik primorial egy gyengén totient szám [7] .

Közelítés

Az egynél nagyobb pozitív számok Riemann zéta függvénye kifejezhető [8] az elsődleges és a Jordan függvény segítségével : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Értéktáblázat

n	n #	p n	p n #
0	egy	nem létezik	nem létezik
egy	egy	2	2
2	2	3	6
3	6	5	harminc
négy	6	7	210
5	harminc	tizenegy	2310
6	harminc	13	30030
7	210	17	510510
nyolc	210	19	9699690
9	210	23	223092870
tíz	210	29	6469693230
tizenegy	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
tizennégy	30030	43	13082761331670030
tizenöt	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
tizennyolc	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
húsz	9699690	71	557940830126698960967415390

Zeneszerző

Az n szám alkotója az őstaggal ellentétben az n- nél kisebb összetett számok szorzata . Az összetett egy szám faktoriálisának és primoriálisának arányával egyenlő: . Az első tizenöt zeneszerző (az ismétlődő értékek kivételével) 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 52672776000 , 1155888006200 000 . $n!/n\#$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Dubner, 1987 , pp. 197–203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ 1 2 sorozat A002110 az OEIS -ben .
↑ OEIS szekvencia A034386 . _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev függvények a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ A002182 - OEIS . Hozzáférés dátuma: 2016. január 5. Az eredetiből archiválva : 2015. december 24. (határozatlan)
↑ Ritkán élő számokon . Hozzáférés dátuma: 2016. január 5. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)
↑ Mező István. A Primorial és a Riemann zéta függvény: [ eng. ] // Az American Mathematical Monthly. - 2013. - Kt. 120. - 321. o.
↑ összeállítások _ _ www.numbersaplenty.com. Letöltve: 2018. február 1. Az eredetiből archiválva : 2018. január 24..
↑ OEIS szekvencia A036691 _
↑ Összetevő - OeisWiki . oeis.org. Letöltve: 2018. február 1. Az eredetiből archiválva : 2018. február 2..

Irodalom

Harvey Dubner. Tényezős és elsődleges prímszámok // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - 1. évf. 19. - P. 197-203.