Négyzet nélküli szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A matematikában négyzetmentes vagy négyzetmentes olyan szám , amely 1-en kívül egyetlen négyzettel sem osztható . Például a 10 négyzetmentes, de a 18 nem, mivel a 18 osztható 9-cel = 3 2 . A négyzet nélküli számok sorozatának kezdete:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... OEIS sorozat A005117

A gyűrűelmélet a következőképpen általánosítja a négyzetesség fogalmát:

Az R faktoriális gyűrű egy r elemét négyzetmentesnek mondjuk , ha nem osztható egy nem triviális négyzettel.

A négyzet nélküli elemek faktorizációjukkal is jellemezhetők: bármely r nem nulla elem ábrázolható prímelemek szorzataként

{\displaystyle r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n))

sőt, minden p i prímtényező különböző, és a gyűrű valamely azonossága ( invertálható eleme ). $\varepsilon$

Négyzet nélküli számok ekvivalens jellemzője

Egy pozitív n szám akkor és csak akkor mentes a négyzetektől, ha egyetlen prímszám sem fordul elő többször ennek a számnak a prímtényezőkké alakításában . Egy másik megfogalmazás : n bármely p prímosztójára p nem osztja n / p - t . Vagy egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha n = ab bármely faktorizálása esetén az a és b tényezők koprímek .

Egy pozitív n szám akkor és csak akkor négyzetmentes , ahol a Möbius-függvényt jelöli . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Dirichlet sorozat , négyzet nélküli számokat generál:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

hol van a Riemann zéta függvény .

\zeta (s)

Ez azonnal kiderül az Euler termékéből :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Egy pozitív n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha minden n - rendű Abel-csoport izomorf egymással, ami akkor és csak akkor igaz, ha mindegyik ciklikus . Ez a véges generált Abel-csoportok osztályozásából következik .

Egy pozitív n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha a hányadosgyűrű (lásd modulo congruence ) mezők szorzata . Ez a kínai maradéktételből következik , és abból a tényből, hogy a gyűrű akkor és csak akkor mező, ha k prím. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Bármely pozitív n szám esetén az összes pozitív osztójának halmaza egy részlegesen rendezett halmaz , ha az "oszthatósági" relációt vesszük sorrendnek. Ez a részben rendezett halmaz mindig egy elosztó rács . Akkor és csak akkor Boole-algebra , ha n négyzetmentes.

Egy egész szám gyökje mindig mentes a négyzetektől.

Négyzet nélküli számok sűrűsége

A Let az 1 és x közötti négyzet nélküli számok számát adja meg . Nagy n esetén az n -nél kisebb pozitív számok 3/ 4-e nem osztható 4-gyel, ezeknek a számoknak a 8/9-e nem osztható 9-cel stb. Mivel ezek az események függetlenek, a következő képletet kapjuk: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}\left(1-{\frac {1}{p^{2))}\right)=x\prod _{p\ {\text{prím))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2))}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

A képletet a zeta függvény nélkül kaphatja meg:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\left({\sqrt {x}}\jobbra)

(lásd pi és "O" nagy és "o" kicsi ). A Riemann-hipotézis szerint a becslés javítható: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)))+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).

Így viselkedik a négyzet nélküli számok n -ig terjedő különbsége az OEIS honlapján: A158819 - (Négyzet nélküli számok száma ≤ n ) mínusz kerek( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2)))\right]$

Így a négyzet nélküli számok aszimptotikus sűrűsége így néz ki:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Hol van a Riemann-zéta-függvény a (azaz az összes szám körülbelül 3/5-e négyzetmentes). $\zeta$ $1/\zeta (2)\kb 0,6079$

Hasonlóképpen, ha az n szabad számok számát jelenti (azaz a 3 szabad szám nem tartalmaz kockát) 1 és x között , akkor: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n))))}+O\left ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\jobb ).

Bináris kódolás

Ha egy négyzet nélküli számot az alak végtelen szorzataként ábrázolunk

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

ahol , a az n- edik prímszám, akkor kiválaszthatjuk ezeket az együtthatókat , és bináris bitként használhatjuk őket: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $a_n$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

Például a 42-es négyzet nélküli számot 2 × 3 × 7-re bontjuk, vagy végtelen szorzatként: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Így a 42-es számot a ...001011 vagy 11 tizedesjegy sorozat kódolja. (A bináris kódolásnál a biteket fordítva írják.) És mivel minden szám prímtényezőssége egyedi, minden négyzet nélküli szám bináris kódja is egyedi.

Ennek a fordítottja is igaz: mivel minden pozitív számnak egyedi bináris kódja van, dekódolható egyedi négyzet nélküli számokká.

Példaként vegyük ismét a 42-es számot – ezúttal csak pozitív számként. Ezután megkapjuk az 101010 bináris kódot - ez azt jelenti: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

A kardinalitások szempontjából ez azt jelenti, hogy a négyzet nélküli számok halmazának a számossága megegyezik az összes természetes szám halmazának a számosságával. Ami viszont azt jelenti, hogy a négyzet nélküli számok sorrendben történő kódolása pontosan a természetes számok halmazának permutációja.

Lásd az A048672 és A064273 sorozatokat az OEIS webhelyén .

Erdős sejtés

A központi binomiális együttható nem lehet négyzetmentes n > 4 esetén. ${2n \choose n}$

Ezt a négyszögletesség Erdős -feltevését 1996-ban bebizonyították Olivier Ramare és Andrew Graville matematikusok.

Lásd még

Möbius függvény

Irodalom

Bukhshtab A. A. Számelmélet. - M .: Nevelés, 1966. - 385 p.

Jegyzetek

↑ Jia, Chao Hua. "A négyzet nélküli számok eloszlása", Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), pp. 154-169. Idézve : Pappalardi 2003, A Survey on k - freeness Archivált : 2016. március 3., a Wayback Machine ; Lásd még: Kaneenika Sinha, " Bizonyos aritmetikai függvények átlagos sorrendje Archivált : 2012. február 14., a Wayback Machine ", Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), pp. 267-277.

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám