Második prímszámok

A másodprím számok olyan egész számok , amelyeknek nincs más közös osztójuk , mint ±1. Egyenértékű definíció [1] : az egész számok másodprímek , ha legnagyobb közös osztójuk (gcd) 1 .

Például a 14 és 25 számok másodlagos számok, mert nincs közös osztójuk; de a 15 és 25 számok nem másodlagos számok, mivel közös osztójuk 5.

A és a számok viszonylagos egyszerűségének jelzésére néha a jelölést használják (analógia a merőleges egyenesekkel, amelyeknek nincs közös irányuk - a viszonylag prímszámoknak nincs közös tényezője [2] ). $m$ $n$ $m\perp n$

Ezt a koncepciót az Euklidész elemei VII. könyve vezette be . Euklidész algoritmusa használható annak meghatározására, hogy két szám koprím -e .

A kosimplicitás fogalma természetesen általánosítható bármely euklideszi gyűrűre .

Páronkénti koprímszámok

Ha egy egész számok halmazában bármely két szám másodprím , akkor az ilyen számokat páros prímszámnak (vagy egyszerűen páronkénti prímnek [3] ) nevezzük. Két szám esetén a "koprím" és a "páronkénti prím" fogalma megegyezik, kettőnél több szám esetén a páronkénti egyszerűség tulajdonsága erősebb, mint a kölcsönös egyszerűség korábban meghatározott tulajdonsága (összesítésben) - a páronkénti prímszámok szintén koprím, de ennek fordítva nem igaz [3 ] . Példák:

A 8, 15 nem prímszám, hanem másodprím.
A 6, 8, 9 kölcsönösen prímszámok (együttesen), de nem páronkénti prímszámok.
8, 15, 49 páronként prím és másodprím (együtt).

Ha a számok páronkénti prímszámok, akkor: $a_1, \ldots , a_n$

legkisebb közös többszörösük megegyezik szorzatuk abszolút értékével : ; $|a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}|$
bármely egész számra a [4] képlet teljesül : $b$

NOD BÓLÍT , BÓLÍT ,

(a_{1}\cdot a_{2}\ldots a_{n},b)=

{\megjelenítési stílus (a_{1},b)}

{\megjelenítési stílus (a_{2},b)\pontok }

{\megjelenítési stílus (a_{n},b)}

ahol gcd a legnagyobb közös osztó .

Tulajdonságok

Az ebben a szakaszban említett összes számot egész számnak kell tekinteni, hacsak másként nem jelezzük.

A természetes számokhoz képest viszonylag prímszámú természetes számok számát az Euler-függvény adja meg . $n$ $\varphi (n)$

A és a számok akkor és csak akkor koprímek , ha vannak egész számok , és olyan, hogy ( Bezout relációja ) [1] . Ha a és természetes számok másodprímek, akkor a és számok is másodprímek, és ennek a fordítottja is igaz. $a$ $b$ $x$ $y$ $ax+by=1$ $a$ $b$ $2^{a}-1$ $2^{b}-1$

( Euklidész lemma ) Ha osztója egy szorzatnak és együttprím -val , akkor osztója -nek . $a$ $időszámításunk előtt$ $a$ $b$ $a$ $c$

Ha gcd , akkor a és számok koprímek. $d=$ $(a,b)$ ${\frac {a}{d))$ ${\frac {b}{d))$

Egy tört akkor és csak akkor irreducibilis , ha a számlálója és a nevezője másodprím.

Ha a és számok relatív prímek, akkor a tetszőleges kongruenciának van egy egyedi megoldása [5] modulo Konkrétan a for kongruencia megoldása adja a for inverz elemet a maradékok gyűrűjében modulo m . (Lásd: Bezout-reláció ) $a$ $m$ $ax\equiv b{\pmod {m))$ $b$ $m.$ $b=1$ $a$

Annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott pozitív egész számok másodprímek lesznek , abban az értelemben, hogy , annak a valószínűsége, hogy a -nál kisebb (és véletlenszerűen kiválasztott) pozitív egész számok másodprímek lesznek . Itt van a Riemann zéta függvény . $k$ $\dfrac{1} {\zeta(k)}$ $N\to \infty$ $k$ ${\textstyle {N}}$ $\dfrac{1} {\zeta(k)}$ $\zeta (k)$

A koprímszámok táblázata 30-ig

Minden cella tartalmazza a koordinátáinak legnagyobb közös osztóját , és a koordináta-pároknak megfelelő egységek sötéten vannak kiemelve. A fent leírt tulajdonságból az következik, hogy a sötét cellák átlagos sűrűsége, amikor a táblázatot végtelenre bővítjük, egyenlővé válik . $1/\zeta (2)$

	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17	tizennyolc	19	húsz	21	22	23	24	25	26	27	28	29	harminc
egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy
2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2
3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	3
négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	négy	egy	2
5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5
6	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	3	2	egy	6
7	egy	egy	egy	egy	egy	egy	7	egy	egy	egy	egy	egy	egy	7	egy	egy	egy	egy	egy	egy	7	egy	egy	egy	egy	egy	egy	7	egy	egy
nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2
9	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	9	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	9	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	9	egy	egy	3
tíz	egy	2	egy	2	5	2	egy	2	egy	tíz	egy	2	egy	2	5	2	egy	2	egy	tíz	egy	2	egy	2	5	2	egy	2	egy	tíz
tizenegy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	tizenegy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	tizenegy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy
12	egy	2	3	négy	egy	6	egy	négy	3	2	egy	12	egy	2	3	négy	egy	6	egy	négy	3	2	egy	12	egy	2	3	négy	egy	6
13	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	13	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	13	egy	egy	egy	egy
tizennégy	egy	2	egy	2	egy	2	7	2	egy	2	egy	2	egy	tizennégy	egy	2	egy	2	egy	2	7	2	egy	2	egy	2	egy	tizennégy	egy	2
tizenöt	egy	egy	3	egy	5	3	egy	egy	3	5	egy	3	egy	egy	tizenöt	egy	egy	3	egy	5	3	egy	egy	3	5	egy	3	egy	egy	tizenöt
16	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	16	egy	2	egy	négy	egy	2	egy	nyolc	egy	2	egy	négy	egy	2
17	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	17	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy
tizennyolc	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	9	2	egy	6	egy	2	3	2	egy	tizennyolc	egy	2	3	2	egy	6	egy	2	9	2	egy	6
19	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	19	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy
húsz	egy	2	egy	négy	5	2	egy	négy	egy	tíz	egy	négy	egy	2	5	négy	egy	2	egy	húsz	egy	2	egy	négy	5	2	egy	négy	egy	tíz
21	egy	egy	3	egy	egy	3	7	egy	3	egy	egy	3	egy	7	3	egy	egy	3	egy	egy	21	egy	egy	3	egy	egy	3	7	egy	3
22	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	tizenegy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	22	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2
23	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	23	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy
24	egy	2	3	négy	egy	6	egy	nyolc	3	2	egy	12	egy	2	3	nyolc	egy	6	egy	négy	3	2	egy	24	egy	2	3	négy	egy	6
25	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	5	egy	egy	egy	egy	25	egy	egy	egy	egy	5
26	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	13	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	2	egy	26	egy	2	egy	2
27	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	9	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	9	egy	egy	3	egy	egy	3	egy	egy	27	egy	egy	3
28	egy	2	egy	négy	egy	2	7	négy	egy	2	egy	négy	egy	tizennégy	egy	négy	egy	2	egy	négy	7	2	egy	négy	egy	2	egy	28	egy	2
29	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	egy	29	egy
harminc	egy	2	3	2	5	6	egy	2	3	tíz	egy	6	egy	2	tizenöt	2	egy	6	egy	tíz	3	2	egy	6	5	2	3	2	egy	harminc

Változatok és általánosítások

A prím , a legnagyobb közös osztó és a másodprím számok fogalma természetesen tetszőleges euklideszi gyűrűkre általánosítható , mint például a polinomgyűrű vagy a Gauss-egész számok . A prímszám fogalmának általánosítása az „ irreducibilis elem ”. A koprímszámok fenti definíciója nem alkalmas tetszőleges euklideszi gyűrűre, mivel a gyűrűben lehetnek egységosztók ; konkrétan a GCD az egység osztójával való szorzásig van definiálva. Ezért a relatív prímszámok definícióját módosítani kell [6] .

Az euklideszi gyűrű elemeit koprímnek nevezzük, ha a legnagyobb közös osztóik halmaza csak egységosztókat tartalmaz.

Egyenértékű készítmények [6] :

Az euklideszi gyűrű elemei koprímszámúak, ha az egységosztókon kívül nincs közös osztójuk.
( Bezout relációja ) Az euklideszi gyűrű elemei akkor és csak akkor koprímek, ha vannak olyan elemek , $a,b$ $K$ $u,v\in K$ $au+vb=1.$

Euklidész lemmája is érvényes .

Gyakorlati alkalmazás

A kölcsönös egyszerűség tulajdonsága nemcsak a számelméletben és a kommutatív algebrában játszik fontos szerepet , hanem számos fontos gyakorlati alkalmazása is van, különösen a fogak száma a lánckerekeken és a láncszemek száma a lánchajtásban . prime, amely egyenletes kopást biztosít: a lánckerék minden foga felváltva működik a lánc összes láncszemével.

Jegyzetek

↑ 1 2 másodprím számok. // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 1. - S. 690.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. Konkrét matematika . - M . : "Mir", 1998. - S. 139 . - 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
↑ 1 2 Mikhelovich, 1967 , p. 28.
↑ Neszterenko Yu. V. Számelmélet. - M . : "Akadémia" Kiadói Központ, 2008. - S. 40. - 272 p. — ISBN 9785769546464 .
↑ Mikhelovics, 1967 , p. 64.
↑ 1 2 Larin S. V. Algebra és számelmélet. Csoportok, gyűrűk és mezők: tankönyv. kézikönyv az akadémiai érettségihez. - 2. kiadás - M. : Yurait, 2018. - S. 92-93. — 160 s. — (Bachelor. Akadémiai tanfolyam). - ISBN 978-5-534-05567-2 .

Irodalom

Második prímszámok // Nagy Szovjet Enciklopédia : 66 kötetben (65 kötet és 1 kiegészítő) / ch. szerk. O. Yu. Schmidt . - M . : Szovjet enciklopédia , 1926-1947.
Mikhelovich Sh. Kh. Számelmélet. - 2. kiadás - M . : Felsőiskola, 1967. - 336 p.