Osztani a maradékkal

A maradékkal való osztás egy aritmetikai művelet , amely nagy szerepet játszik az aritmetikában , a számelméletben , az algebrában és a titkosításban . Ezt a műveletet leggyakrabban egész vagy természetes számokra a következőképpen határozzák meg [1] . Legyen és egész számok, és az osztás maradékkal („osztható”) a („osztó”)-vel azt jelenti, hogy egész számokat találunk , és úgy, hogy az egyenlőség teljesüljön: $a$ $b$ $b\neq 0.$ $a$ $b$ $q$ $r$

a=b\cdot q+r

Így a maradékkal való osztás eredménye két egész szám: az osztás parciális hányadosa , és az osztás maradéka . A maradékra egy további feltétel is vonatkozik: vagyis az osztás maradékának nem negatív számnak kell lennie, és abszolút értékben kisebbnek kell lennie, mint az osztó . Ez a feltétel biztosítja a maradékkal való osztás eredményének egyediségét minden egész számra, vagyis a fenti feltételek mellett van az egyenletnek egyedi megoldása . Ha a maradék nulla , akkor oszthatónak mondjuk $q$ $r$ $0\leqslant r<|b|,$ $a=b\cdot q+r$ $a$ $b.$

A parciális hányados megtalálását egész osztásnak is nevezik , az osztás maradékának megtalálását pedig a maradék felvételének vagy informálisan modulo osztásnak (ez utóbbi kifejezést azonban kerülni kell, mert összetévesztheti a gyűrűben való osztással, ill . csoport analógia összeadás vagy szorzás modulo ).

Példák

Ha egy pozitív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . $a=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$

Vizsgálat:

78=33\cdot 2+12.

Ha egy negatív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$

Vizsgálat:

-78=33\cdot (-3)+21.

Ha egy negatív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . $a=-9$ $b=-13$ $q=1$ $r=4$

Vizsgálat:

-9=1\cdot (-13)+4.

Ha egy pozitív szám maradékával osztunk -vel , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk . $a=9$ $b=90$ $q=0$ $r=9$

Vizsgálat:

9=90\cdot 0+9.

Ha egy szám maradékával osztunk -val , akkor egy hiányos hányadost és egy maradékot kapunk , vagyis az osztás egész számmal történik. $a=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$

A maradékkal való osztási művelet nem csak egész számokra definiálható, hanem más matematikai objektumokra is (például polinomokra ), lásd alább .

Definíció

Szigorúan a természetes számokon belül maradva különbséget kell tenni a maradékkal való osztás és az egész számmal való osztás között, mivel a nulla maradék nem természetes szám; ráadásul a hiányos hányados kisebb szám nagyobbdal való osztásakor nullával egyenlő legyen, ami szintén a természetes számokon túlra vezet. Mindezek a mesterséges megszorítások szükségtelenül bonyolítják a megfogalmazásokat, ezért a források általában vagy a kiterjesztett természetes sorozatot veszik figyelembe , beleértve a nullát [2] , vagy az elméletet azonnal egész számokra fogalmazzák meg, amint azt fentebb jeleztük [1] .

A pozitív számmal való osztás részhányadosának kiszámításához ossza el (a szokásos értelemben) az eredményt, és kerekítse le a legközelebbi egészre: $a$ $b$ $a$ $b$

q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,

mikor .

b>0

ahol a félig zárójelek jelölik a . A hiányos hányados értéke lehetővé teszi a maradék értékének kiszámítását a következő képlet segítségével: $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ $q$ $r$

r=ab\cdot q.

Negatív osztóhoz a hányadost felfelé kell kerekíteni:

q=\left\lceil {\frac {a}{b))\right\rceil ,

mikor .

b<0

A "mod" művelet és az összehasonlításokhoz való viszony

A maradék értékét a "maradvány kivétele" bináris művelettel kaphatjuk meg a következővel való osztásból, amelyet mod jelöl : $a$ $b$

r=a{\bmod {b).

Ezt a jelölést nem szabad összetéveszteni a modulo összehasonlító jelöléssel . A képlet magában foglalja az összehasonlítást: $b$ $r$

r\equiv a{\pmod {b)),

a fordított implikáció azonban általában nem igaz. Ez az összehasonlítás ugyanis nem jelenti a maradék léthez szükséges egyenlőtlenség teljesülését. $0\leqslant r<|b|$ $r$

A programozásban

A parciális hányados és a maradék kiszámításának művelete különböző programozási nyelveken

Nyelv	Hiányos hányados	Maradék	Maradék jele
ActionScript		%	Osztalék
Ada		mod	Osztó
Ada		rem	Osztalék
ALAPVETŐ	\	MOD	Meghatározatlan
C (ISO 1990)	/	%	Meghatározatlan
C (ISO 1999)	/	%	Osztható [3]
C++ (ISO 2003)	/	%	Undefined [4]
C++ (ISO 2011)	/	%	Osztható [5]
C#	/	%	Osztalék
hideg fúzió		MOD	Osztalék
Közönséges Lisp		mod	Osztó
Közönséges Lisp		rem	Osztalék
D	/	%	Osztható [6]
Delphi	div	mod	Osztalék
eiffel	//	\\	Osztalék
Erlang	div	rem	Osztalék
Eufória		remainder	Osztalék
Microsoft Excel (angol)	QUOTIENT()	MOD()	Osztó
Microsoft Excel (orosz)	ЧАСТНОЕ()	ОСТАТ()	Osztó
fájlkészítő	Div()	Mod()	Osztó
Fortran		mod	Osztalék
Fortran		modulo	Osztó
GML (Game Maker)	div	mod	Osztalék
megy	/	%	Osztalék
Haskell	div	mod	Osztó
Haskell	quot	rem	Osztalék
J		\|~	Osztó
Jáva	/	%	Osztható [7]
Jáva	Math.floorDiv	Math.floorMod	osztó (1,8+)
JavaScript	.toFixed(0)	%	Osztalék
Lua		%	Osztó
Mathematica	Quotient	Mod	Osztó
MATLAB	idivide(?, ?, 'floor')	mod	Osztó
MATLAB	idivide	rem	Osztalék
MySQL	DIV	MOD %	Osztalék
Oberon	DIV	MOD	+
Objektív Caml		mod	Meghatározatlan
Pascal	div	mod	Osztható [8]
Perl	Nem	%	Osztó
PHP	Nem [9]	%	Osztalék
PL/I		mod	osztó ( ANSI PL/I )
Prolog (ISO 1995)		mod	Osztó
PureBasic	/	Mod %	Osztalék
Piton	//	%	Osztó
QBasic	\	MOD	Osztalék
R	%/%	%%	Osztó
RPG		%REM	Osztalék
rubin	/	%	Osztó
Rendszer		modulo	Osztó
SenseTalk		modulo	Osztó
SenseTalk		rem	Osztalék
tcl		%	Osztó
Verilog (2001)		%	Osztalék
VHDL		mod	Osztó
VHDL		rem	Osztalék
Visual Basic	\	Mod	Osztalék

Az osztás maradékának megtalálását gyakran használják a számítástechnikában és a távközlési berendezésekben ellenőrző számok generálására és véletlen számok generálására korlátozott tartományon belül, például egy kongruens véletlenszám-generátorban .

A maradék felvételének műveletének megnevezése különböző programozási nyelveken a jobb oldali táblázatban található. Például Pascalban a művelet modkiszámítja az osztás maradékát, a művelet divpedig egy egész osztást hajt végre, amelyben az osztás maradékát eldobja:

78 mod 33 = 12 78 div 33 = 2

Maradék jele

A programozási nyelvekben a maradék bevételének művelete negatív eredményt adhat (negatív osztó vagy osztó esetén). Itt két lehetőség van:

A maradék előjele megegyezik az osztalék előjelével: a hiányos hányados a nulla felé kerekedik.
A maradék előjele megegyezik az osztó előjelével: a hiányos hányados -ra kerekít . $-\infty$

Ha egy nyelvnek mindkét típusú maradéka van, akkor mindegyiknek megvan a saját parciális hányados művelete. Mindkét művelet létfontosságú.

Van egy kopejkák összege, pozitív vagy negatív. Váltsd át rubelre és kopekkára: és . A maradék előjele megegyezik az osztalék előjelével. $n$ n div 100n mod 100
Van egy végtelen cellamező, minden cella 16×16 pixeles. Melyik cellába esik a ( , ) pont, és mik a koordináták a cella bal felső sarkához képest? Válasz: és ill. A maradék előjele megegyezik az osztó előjelével. $x$ $y$ x div 16, y div 16(x mod 16, y mod 16)

Hogyan kell programozni, ha nincs ilyen művelet?

A hiányos hányadost az egész rész elosztásával és felvételével számíthatjuk ki: , ahol a feladattól függően lehet " emelet " vagy csonkítás. Az osztás azonban itt tört , ami sokkal lassabb, mint az egész. Ezt az algoritmust olyan nyelveken használják, amelyek nem rendelkeznek egész számokkal (külön táblázatok , programozható számológépek és matematikai programok), valamint olyan szkriptnyelvekben , amelyekben az értelmezési többlet jóval meghaladja a tört aritmetika rezsijét ( Perl , PHP ). $q=\left[{\frac {a}{b}}\jobbra]$ $[x]$

Ha nincs parancs, a modmaradékot a program programozza . $a-qb$

Ha pozitív, és az előjel egybeesik az osztalék előjelével, nincs definiálva vagy ismeretlen, akkor a képlet segítségével megkeresheti a minimális nemnegatív maradékot . $b$ $r$ $r'=(b+(a\operátornév {mod}b))\operátornév {mod}b$

A kettő hatványával való osztás nem teljes hányadosa és nem negatív maradéka egy biteltolás ( előjeles számoknál aritmetika) és . $2^{n}$ $a\gg n$ $a\mathop {\&} (2^{n}-1)$

Általánosítások

Valós számok

Ha két szám és ( nulla kivételével ) tartozik a valós számok halmazához , akkor maradék nélkül osztható -val, és a hányados is valós szám. Ha a feltétel szerinti hányadosnak egész számnak kell lennie, ebben az esetben a maradék valós szám lesz, azaz törtnek bizonyulhat . $a$ $b$ $a$ $b$

Formálisan:

ha , akkor hol .

a,b\in {\mathbb {R)),b\neq 0

a=bq+r

0\leqslant r<|b|

Példa

Ha 7,9-et elosztunk 2,1-gyel egy maradékkal, akkor a következő eredményt kapjuk:

\left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3

(nem teljes hányados);

7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6

(maradék).

Gauss-egészek

A Gauss-szám az alak komplex száma , ahol egész számok vannak. Számukra a maradékkal való osztás definiálható: bármely Gauss-szám maradékkal osztható bármely nem nulla Gauss-számmal , azaz a következőképpen ábrázolható: $a+bi$ $a,b$ $u$ $v$

u=vq+r

ahol a hányados és a maradék Gauss-számok, és azonban az egész számokkal ellentétben az osztás maradéka nincs egyértelműen definiálva. Például háromféleképpen osztható fel : $q$ $r$ $|r|<|v|.$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i) .

Polinomok

Ha két polinom maradékával osztunk, és az eredmény egyedisége érdekében feltételt vezetünk be: a maradék polinom fokszáma szigorúan kisebb kell, hogy legyen, mint az osztó foka: $f(x)$ $g(x)$

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

, és .

\deg(r)<\deg(g)

Példa

{\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2

(a maradék 3 ), mert: .

2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 osztás // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2.
↑ Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra és elemi függvények elemzése. M.: Nauka, 1981, 560 p., S. 9.
↑ ISO/IEC 9899:TC2: Egész számok felosztása esetén az /operátor eredménye az algebrai hányados bármely törtrész elvetésével. [Ezt gyakran "nulla felé csonkításnak" nevezik.] ; az 1999→TC1 és TC1→TC2 változások listájában ez a változás nem szerepel.
↑ " ISO/IEC 14882:2003: Programozási nyelvek -- C++ " , 5.6.4: Nemzetközi Szabványügyi Szervezet , Nemzetközi Elektrotechnikai Bizottság , 2003 . "a bináris % operátor az első kifejezés másodikkal való osztásából származó maradékot adja. …. Ha mindkét operandus nemnegatív, akkor a maradék nemnegatív; ha nem, akkor a maradék előjele megvalósítás által meghatározott" .
↑ N3242=11-0012 (Munkavázlat), ugyanaz a szöveg, mint a C99
↑ D nyelvi specifikáció (angol) (elérhetetlen link) . dlang.org. Letöltve: 2017. október 29. Az eredetiből archiválva : 2017. október 3..
↑ Arnold, Ken, Gosling, J. , Holmes, D. A Java programozási nyelv. - 3. kiadás - M., Szentpétervár, Kijev: Williams, 2001. - S. 173-174. — ISBN 5-8459-0215-0 .
↑ 1973-as szabvány: div - osztás csonkítással .
↑ PHP: Aritmetikai operátorok - Kézikönyv . Hozzáférés dátuma: 2014. november 27. Az eredetiből archiválva : 2014. november 19. (határozatlan)