Nilpotens Ideál

A nilpotens ideál egy olyan gyűrű ideálja , amelyre létezik olyan természetes szám , hogy [1] ( egy additív alcsoport , amelyet az ideál elemeiből származó összes szorzat halmaza generál , azaz egy ideál akkor és csak akkor nilpotens ha létezik olyan természetes szám , hogy az ideál bármely elemének szorzata egyenlő 0-val. A nilpotens ideál fogalma a nem kommutatív gyűrűk esetében érdekes . $én$ $R$ $k$ $I^{k}=0$ ${\displaystyle I^{k))$ $k$ $én$ $k$ $k$ $én$

A modulo maradékok gyűrűjében , ahol van valamilyen prímszám, a gyűrűn kívül minden ideál nilpotens. A felső háromszög alakú mátrixok gyűrűjében valamilyen mező felett a főátlón nullákat tartalmazó mátrixok nilpotens ideált alkotnak. $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $p^{n}$ $p$

A nilpotens ideál bármely eleme nilpotens . Egy kommutatív gyűrűben bármely nilpotens elem benne van valamilyen nilpotens ideálban, például az ezen elem által generált főideálban. Egy nem kommutatív gyűrű tartalmazhat olyan nilpotens elemeket, amelyeket egyetlen nilpotens ideál sem tartalmaz (vagy akár nullideál sem).

Egy véges dimenziós Lie algebrában létezik egy maximális nilpotens ideál, amely olyan elemekből áll , amelyekre az endomorfizmus nilpotens. $g$ $x\in g$ $y\to [x,y]$ $y\in g$

Kapcsolat a nullideálokkal

Minden nilpotens ideál nil-ideal , fordítva általános esetben nem igaz, de egyes osztályokban ezek a fogalmak egybeesnek. A nullideál nem feltétlenül nilpotens, több okból kifolyólag: egyrészt előfordulhat, hogy a kitevőnek nincs globális felső korlátja a nullideál különböző elemeinek nullára állítása érdekében, másrészt az egyes elemek, mivel nilpotensek, nem feltétlenül adnak nulla szorzat különböző elemek szorzásakor [1] .

A jobb oldali artini gyűrűben bármely nullideál nilpotens [2] . Ezt erősíti meg a következő megfigyelés: a gyűrű Jacobson-gyökében bármilyen nulla ideál található , és az a tény, hogy a Jacobson-gyök nilpotens ideál (Artin sejtése miatt), magában foglalja a szükséges állítást. Valójában ez az állítás általánosítható a jobb oldali Noether-gyűrűkre , ezt az eredményt Levitsky-tételként ismerjük [3] .

Jegyzetek

↑ 1 2 Isaacs, 1993 , p. 194.
↑ Isaacs, 1993 , p. 195 Következmény 14.3.
↑ Herstein, 1968 , p. 37 1.4.5. tétel.

Irodalom

A Hersteinben. Nem kommutatív gyűrűk. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
- Herstein I. Nem kommutatív gyűrűk / Fordította E.N. Kuzmin. - M . : "Mir", 1972.
I. Martin Isaacs. Algebra, végzős tanfolyam. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .
Leng S. Algebra. - M. , 1968.
Jacobson N. Gyűrűk szerkezete. - M. , 1961.
Face K. Algebra: gyűrűk, modulok és kategóriák. - M. , 1977. - T. 1.
Bourbaki N., Lie-csoportok és algebrák. Lie-algebrák, szabad Lie-algebrák és Lie-csoportok, ford. franciából, M., 1978.