Levitsky tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Levitsky tétele , amelyet Yaakov Levitsky izraeli matematikusról neveztek el , kimondja, hogy bármely egyoldalú nullideál egy jobb Noether- gyűrűben szükségszerűen nilpotens [1] [2] . A tétel egy a sok eredmény közül, amelyek a Koethe-sejtés valódiságáról tesznek tanúbizonyságot , és ráadásul megoldást adnak Koethe egyik kérdésére, amint azt Levitsky [3] írja le . Az eredményt 1939-ben kapták meg, de csak 1950-ben publikálták [4] . Egy viszonylag egyszerű bizonyítékot Utumi adott 1963-ban [5] .

Bizonyítás

Az alábbiakban Utumi érvelése olvasható (Lam cikkében [6] vázolt módon )

Lemma [7]

Tételezzük fel, hogy R teljesíti a felszálló lánc befejezési feltételét a forma annihilátorainál , ahol a az R - hez tartozik . Akkor

  1. Bármely egyoldalú nullideál egy alacsonyabb nulla gyökben található ;
  2. Bármely nem nulla jobb nilideál tartalmaz egy nem nulla nilpotens jobb ideált.
  3. Bármely nullától eltérő bal nilideál tartalmaz egy nem nulla nilpotens bal ideált.
Levitsky tétele [8]

Legyen R egy jobboldali Noether-gyűrű. Ekkor bármely egyoldalú nilidális R nilpotens. Ebben az esetben a felső és az alsó nilradikális egyenlő, ráadásul ez az ideál a legnagyobb nilpotens ideál a nilpotens jobbideálok és a nilpotens balideálok között.

Bizonyítás : A fenti lemma alapján elegendő megmutatni, hogy az alsó nulla gyök R nilpotens. Mivel R egy jobboldali Noether-gyűrű, létezik egy maximális nilpotens ideális N. Az N maximalitása azt jelenti, hogy az R / N hányadosgyűrűnek nincs nullától eltérő nilpotens ideálja, tehát R / N félig egyszerű gyűrű . Ennek eredményeként az N tartalmazza az R gyűrű alsó nulla gyökjét. Mivel az alsó nilgyök tartalmazza az összes nilpotens ideált, N -t is tartalmaz , és ekkor N egyenlő az alsó nilgyökkel.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Herstein, 1968 , p. 37 1.4.5. tétel.
  2. ↑ Isaacs, 1993 , p. 210 14.38. tétel.
  3. ↑ Levitzki, 1945 .
  4. ↑ Levitzki, 1950 .
  5. ↑ Utumi, 1963 .
  6. ↑ Lam, 2001 , p. 164-165.
  7. ↑ Lam, 2001 , p. Lemma 10.29.
  8. ↑ Lam, 2001 , p. 10.30. tétel.

Irodalom