A félig egyszerű modulok ( teljesen redukálható modulok ) általános algebrai modulok , amelyek alkatrészeikből könnyen visszaállíthatók. Az olyan gyűrűt , amely egy félig egyszerű modul önmagában, Artin-féle félegyszerű gyűrűnek nevezzük . A félig egyszerű gyűrű fontos példája egy véges csoport csoportgyűrűje egy karakterisztikus nulla mező felett. A félig egyszerű gyűrűk szerkezetét a Wedderburn-Artin tétel írja le: minden ilyen gyűrű a mátrixgyűrűk közvetlen terméke .
Három egyenértékű [1] definíciót adunk egy félig egyszerű (teljesen redukálható) modulra: egy M modul félig egyszerű, ha
A teljes redukálhatóság erősebb feltétel, mint a teljesen felbontható: a teljesen felbontható modul olyan modul, amely a felbonthatatlan közvetlen összegére bomlik . Például az egész számok gyűrűje teljesen felbontható (ez a felbonthatatlanságából következik), de nem teljesen redukálható, hiszen vannak részmoduljai (például páros számok halmaza).
Egy gyűrűt félegyszerűnek (bal oldali) nevezünk, ha félegyszerű (bal) modulként önmaga fölött. Kiderült, hogy a bal oldali félegyszerű gyűrűk a jobb oldali félegyszerűek és fordítva, tehát félegyszerű gyűrűkről beszélhetünk.
A félig egyszerű gyűrűket homológ algebra segítségével jellemezhetjük : egy R gyűrű akkor és csak akkor félegyszerű, ha a (baloldali) R - modulok minden rövid, pontos sorozata felhasad . Különösen egy félig egyszerű gyűrűn lévő modul injektív és projektív .
A félig egyszerű gyűrűk artinusi és noetheri gyűrűk is . Ha van homomorfizmus egy mezőből egy félig egyszerű gyűrűbe, azt félegyszerű algebrának nevezzük .
A Wedderburn-Artin-tétel kimondja, hogy bármely félig egyszerű gyűrű izomorf az n i mátrixgyűrűk közvetlen szorzatával n i -vel D i testben lévő elemekkel , és az n i számok egyediek, a testek pedig az izomorfizmusig egyediek. Közelebbről, egy egyszerű gyűrű izomorf egy osztógyűrű feletti mátrixgyűrűvel.
Wedderburn eredeti eredménye az volt, hogy egy egyszerű gyűrű, amely egy véges dimenziós egyszerű algebra egy osztásgyűrű felett, izomorf egy mátrixgyűrűvel. Emil Artin általánosította a tételt a félig egyszerű (Artin-féle) gyűrűk esetére.
Példák azokra az esetekre, amikor a Wedderburn-Artin tétel alkalmazható: minden R feletti véges dimenziós egyszerű algebra egy R , C vagy H feletti mátrixgyűrű ( kvaterniók ), minden C feletti véges dimenziós egyszerű algebra egy C feletti mátrixgyűrű .