Félig egyszerű modul

A félig egyszerű modulok ( teljesen redukálható modulok ) általános algebrai modulok , amelyek alkatrészeikből könnyen visszaállíthatók. Az olyan gyűrűt , amely egy félig egyszerű modul önmagában, Artin-féle félegyszerű gyűrűnek nevezzük . A félig egyszerű gyűrű fontos példája egy véges csoport csoportgyűrűje egy karakterisztikus nulla mező felett. A félig egyszerű gyűrűk szerkezetét a Wedderburn-Artin tétel írja le: minden ilyen gyűrű a mátrixgyűrűk közvetlen terméke .

Definíció

Három egyenértékű [1] definíciót adunk egy félig egyszerű (teljesen redukálható) modulra: egy M modul félig egyszerű, ha

1. M izomorf egyszerű modulok (más néven irreducibilis) közvetlen összegével .
2. M felbontható M egyszerű részmoduljainak közvetlen összegére .
3. Minden N M  részmodulhoz van egy P komplementer , amelyre M = N ⊕ P .

A teljes redukálhatóság erősebb feltétel, mint a teljesen felbontható: a teljesen felbontható modul olyan modul, amely a felbonthatatlan  közvetlen összegére bomlik . Például az egész számok gyűrűje teljesen felbontható (ez a felbonthatatlanságából következik), de nem teljesen redukálható, hiszen vannak részmoduljai (például páros számok halmaza).

Tulajdonságok

• Ha M félig egyszerű és N  az almodulja , akkor N és M / N is félig egyszerű.
• Ha mindegyik  félig egyszerű modul, akkor a közvetlen összeg is félig egyszerű.
• Az M modul akkor és csak akkor véges és félig egyszerű, ha artini, és gyökje nulla .

Félig egyszerű gyűrűk

Egy gyűrűt félegyszerűnek (bal oldali) nevezünk, ha félegyszerű (bal) modulként önmaga fölött. Kiderült, hogy a bal oldali félegyszerű gyűrűk a jobb oldali félegyszerűek és fordítva, tehát félegyszerű gyűrűkről beszélhetünk.

A félig egyszerű gyűrűket homológ algebra segítségével jellemezhetjük : egy R gyűrű akkor és csak akkor félegyszerű, ha a (baloldali) R - modulok minden rövid, pontos sorozata felhasad . Különösen egy félig egyszerű gyűrűn lévő modul injektív és projektív .

A félig egyszerű gyűrűk artinusi és noetheri gyűrűk is . Ha van homomorfizmus egy mezőből egy félig egyszerű gyűrűbe, azt félegyszerű algebrának nevezzük .

Példák

• A kommutatív félig egyszerű gyűrű izomorf a mezők közvetlen szorzatával.
• Ha k  egy mező és G  egy véges n rendű csoport , akkor a k [ G ] csoportgyűrű akkor és csak akkor félegyszerű, ha a mező karakterisztikája nem osztja n -t . Ez az eredmény Maschke tételeként ismert, és fontos a csoportreprezentációs elméletben .

A Wedderburn-Artin tétel

A Wedderburn-Artin-tétel kimondja, hogy bármely félig egyszerű gyűrű izomorf az n i mátrixgyűrűk közvetlen szorzatával n i -vel D i testben lévő elemekkel , és az n i számok egyediek, a testek pedig az izomorfizmusig egyediek. Közelebbről, egy egyszerű gyűrű izomorf egy osztógyűrű feletti mátrixgyűrűvel.

Wedderburn eredeti eredménye az volt, hogy egy egyszerű gyűrű, amely egy véges dimenziós egyszerű algebra egy osztásgyűrű felett, izomorf egy mátrixgyűrűvel. Emil Artin általánosította a tételt a félig egyszerű (Artin-féle) gyűrűk esetére.

Példák azokra az esetekre, amikor a Wedderburn-Artin tétel alkalmazható: minden R feletti véges dimenziós egyszerű algebra egy R , C vagy H feletti mátrixgyűrű ( kvaterniók ), minden C feletti véges dimenziós egyszerű algebra egy C feletti mátrixgyűrű .

Jegyzetek

1. ↑ Nathan Jacobson, Basic Algebra II (második kiadás), 120. o.

Irodalom

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2. kiadás), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2. kiadás), Berlin, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0 
• RS Pierce. Asszociatív algebrák . Érettségi szövegek matematikából, 88. évf.