Mező (algebra)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A mező az általános algebrában olyan halmaz , amelynek elemeire az összeadás , ellentétes értéket felvevő , szorzás és osztás (kivéve a nullával való osztást ) műveletei definiáltak, és e műveletek tulajdonságai közel állnak a közönséges numerikus műveletek tulajdonságaihoz . A legegyszerűbb mező a racionális számok (törtek) mezője. Egy mező elemei nem feltétlenül számok, így bár a mezőműveletek nevei az aritmetikából származnak , a műveletek definíciói távol állhatnak az aritmetikától.

A terület a térelméleti tanulmányok fő tárgya . A racionális , valós , komplex számok, racionális függvények [1] és maradékok egy adott prímszámot moduloznak mezőket .

Történelem

A mező fogalmának keretein belül Galois implicit módon 1830- ban dolgozott egy mező algebrai kiterjesztésének ötletével , és sikerült megtalálnia a szükséges és elégséges feltételt egy változóban lévő egyenlet megoldásához. radikálisok . Később a Galois-elmélet segítségével bebizonyosodott , hogy lehetetlen megoldani olyan klasszikus feladatokat, mint a kör négyzetre emelése , a szög háromszorítása és a kocka megkettőzése .

A mezőfogalom explicit meghatározása Dedekindnek (1871) tulajdonítható, aki a német Körper (test) kifejezést használta. A "field" ( angolul field ) kifejezést Eliakim Hastings Moore amerikai matematikus vezette be 1893 -ban [2] .

Mivel az összes általános algebrai absztrakció közül a legközelebb áll a közönséges számokhoz, a mezőt a lineáris algebrában olyan szerkezetként használják, amely egyetemesíti a skalár fogalmát , és a lineáris algebra fő szerkezete, a lineáris tér egy tetszőleges konstrukció. terület. Ezenkívül a térelmélet nagyrészt az olyan szakaszok műszeres alapját képezi, mint az algebrai geometria és az algebrai számelmélet .

Formális definíciók

Formálisan a mező egy halmaz feletti algebra , amely semleges elemmel összeadással kommutatív csoportot és nem nulla elemek feletti szorzással kommutatív csoportot alkot, az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonságával . $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Ha kibővítjük a definíciót, akkor egy halmazt a rajta bevezetett összeadás és szorzás algebrai műveleteivel ( , azaz ) mezőnek nevezzük , ha a következő axiómák igazak: $F$ $+$ $*$ $+\kettőspont F\szoros F\-F,\quad *\kettőspont F\szor F\-F$ $\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Összeadás kommutativitása: . $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
Összeadás asszociativitás: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Null elem létezése: . $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Az ellentétes elem létezése: . $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0))$
A szorzás kommutativitása: . $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
A szorzás asszociativitása: . $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Egyetlen elem létezése: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Inverz elem megléte nem nulla elemek esetén: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Az 1-4. axiómák egy kommutatív csoport definíciójának felelnek meg az összeadással ; Az 5-8. axiómák egy kommutatív csoport definíciójának felelnek meg szorzás útján ; A 9. axióma az összeadás és a szorzás műveleteit egy eloszlási törvénnyel köti össze. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Az 1-7. és 9. axióma az azonossággal rendelkező kommutatív gyűrű definíciója.

Az összes fenti axióma, a szorzás kommutativitásának kivételével, megfelel a test definíciójának is .

Más (történelmileg később kialakuló) struktúrákkal kapcsolatban egy mezőt kommutatív gyűrűként határozhatunk meg, amely osztásgyűrű . A szerkezeti hierarchia a következő:

Kommutatív gyűrűk ⊃ Integritási tartományok ⊃ Faktoriális gyűrűk ⊃ Fő ideális tartományok ⊃ Euklideszi gyűrűk ⊃ Mezők.

Kapcsolódó definíciók

A mezők felett az alapvető általános algebrai definíciók természetes módon kerülnek bevezetésre: az almező olyan részhalmaz, amely maga is mező a főmezőtől arra irányuló műveletek korlátozása szempontjából, a kiterjesztés pedig egy olyan mező, amely tartalmazza az adott egy részmező.

A mezőhomomorfizmust is természetes módon vezetjük be: olyan leképezésként , hogy , és . Konkrétan a homomorfizmus alatti invertálható elem nem mehet nullára, mivel ezért bármely mezőhomomorfizmus magja nulla, vagyis a mezőhomomorfizmus egy beágyazás . $f$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

A mező karakterisztikája megegyezik a gyűrű karakterisztikájával : a legkisebb pozitív egész szám , amelyre az egyes másolatainak összege nulla: $n$ $n$

\bezárás {1+\pontok +1} _{n}=n1=0.

Ha ilyen szám nem létezik, akkor a karakterisztikát nullával egyenlőnek tekintjük. A jellemző meghatározásának problémáját általában az egyszerű mező fogalmával oldják meg - egy olyan mező, amely nem tartalmaz saját részmezőket, mivel bármely mező pontosan az egyszerű mezők egyikét tartalmazza.

A Galois -mezők véges számú elemből álló mezők. Első felfedezőjükről, Évariste Galoisról nevezték el .

Tulajdonságok

A mező jellemzője mindig vagy prímszám . $0$
- A karakterisztika mező
a racionális számok mezőjével izomorf részmezőt tartalmaz . $0$ $\mathbb {Q}$
Egy egyszerű jellemző mezője a maradékok mezőjével izomorf részmezőt tartalmaz . $p$ $\mathbb {Z} _{p}$

Egy véges mező elemeinek száma mindig egyenlő egy prímszám hatványával.

p^{n}

Ezen túlmenően az alak tetszőleges számához létezik egy egyedi ( izomorfizmusig ) elemmező, amelyet általában -vel jelölnek . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

A mezőben nincsenek nulla osztók .

A multiplikatív mezőcsoport bármely véges részcsoportja ciklikus . Konkrétan egy véges mező nullától eltérő elemeinek multiplikatív csoportja izomorf -val .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Az algebrai geometria szemszögéből a mezők pontok, mivel a spektrumuk pontosan egy pontból áll - az ideális {0}. Valójában a mező nem tartalmaz más megfelelő ideált : ha egy nem nulla elem egy ideálhoz tartozik, akkor annak minden többszöröse, vagyis a teljes mező az ideálban van. Ezzel szemben egy kommutatív gyűrű , amely nem mező, egy nem invertálható (és nem nulla) elemet tartalmaz a . Ekkor az a által generált főideál nem esik egybe az egész gyűrűvel, és valamilyen maximális (és ezért egyszerű ) ideálban van benne; és ezért ennek a gyűrűnek a spektruma legalább két pontot tartalmaz.

Mezőpéldák

0-val egyenlő karakterisztikus mezők

$\mathbb {Q}$ racionális számok ,
$\mathbb {R}$ valós számok ,
$\mathbb {C}$ komplex számok ,
$\mathbb {A}$ algebrai számok a racionális számok mezője felett (egy részmező a mezőben ). $\mathbb {C}$
A , , alak számai a szokásos összeadási és szorzási műveletekhez viszonyítva. Ez egy példa egy másodfokú mezőre , amely részmezőt alkot a -ban . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ az alak racionális függvényeinek mezője , ahol a és polinomok valamely 0 karakterisztikájú mező felett (ebben az esetben , , , és nincs közös osztójuk, kivéve az állandókat). $f(x)/g(x)$ $f$ $g$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $f$ $g$

Nem nulla karakterisztikájú mezők

Bármely véges mezőnek van nullától eltérő karakterisztikája. Utolsó mező példák:

$\mathbb {Z} _{p}$ a maradékok mezője modulo , ahol egy prímszám. $p$ $p$
$\mathbb {F} _{q}$ az elemek véges mezője , ahol prímszám, természetes szám. Minden véges mezőnek van ilyen formája. $q=p^{k}$ $p$ $k$

Vannak példák a nullától eltérő karakterisztikájú végtelen mezőkre.

Lásd még

Algebrailag zárt mező

Jegyzetek

↑ Lev Dmitrijevics Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. Hang 1
↑ A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert felhasználásai (F) . Letöltve: 2019. szeptember 28. Az eredetiből archiválva : 2021. január 24. (határozatlan)

Irodalom

Bourbaki N. Algebra. 2. rész Polinomok és mezők. Rendezett csoportok. - M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 p.
P. Aluffi. VII. fejezet // Algebra: 0. fejezet - American Mathematical Society, 2009. - (Matematika diploma). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Mező // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Brockhaus