Funkcióhordozó

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. március 18-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Egy függvény hordozója annak a halmaznak a lezárása , amelyen a függvény nem nulla.

A klasszikus függvény támogatása

A függvény támogatása annak a részhalmaznak a lezárása, amelyen a valós értékű függvény nem tűnik el: $u\kettőspont X\ to \mathbb{R}$ $x$ $u$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

A leggyakoribb eset az, amikor a függvény egy topológiai térben van definiálva és folytonos. Ebben az esetben a vivőt a legkisebb zárt részhalmazként határozzuk meg , amelyen kívül nullával egyenlő. $u$ $x$ $x$ $u$

Kompakt hordozó

A kompakt támogatással rendelkező funkciók azok, amelyek támogatása a . $x$ $x$

Például, ha egy valós sor , akkor minden olyan folytonos függvény , amely pontban eltűnik , kompakt támogatású függvény. $x$ $|x|>C$

Egy függvényt végesnek nevezünk, ha a támogatása kompakt .

Általános függvényhordozó

Bevezetheti az általánosított függvény támogatásának fogalmát is , vagyis a végtelenül sima véges függvények halmazán lévő függvényt .

Formális definíció

Tekintsünk egy általánosított függvényt és minden halmazt úgy, hogy ha a véges függvény eltűnik a halmazból , akkor az értéke 0. $f$ $K$ $\varphi$ $K$ $(f,\;\varphi )$

Az ilyen halmazok közül a legkisebbet (befoglalással) az általánosított függvény hordozójának $f$ nevezzük . (Egyébként azt is mondhatjuk, hogy az összes ilyen metszéspontja ). ${\mathrm {supp}}\,f$ $K$

Érdemes megjegyezni, hogy az általánosított függvény támogatása egy nem üres kompakt halmaz lesz.

Megjegyzés

Vegye figyelembe, hogy a hordozónak ez a meghatározása nem esik egybe a klasszikus definícióval. Valójában egy általánosított függvény a végtelenül sima véges függvények terén van definiálva , ami azt jelenti, hogy a klasszikus támasznak a részhalmazának kell lennie , míg az általánosított függvény támaszának a részhalmazának kell lennie . $f$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $x$

Példák

Példaként tekintsük a Dirac függvényt . $\delta(x)$

Vegyünk minden olyan véges függvényt , amelynek támogatása nem tartalmazza a 0 pontot. Mivel ( lineáris függvényként alkalmazva ) az ilyen függvényekre nulla, azt mondhatjuk, hogy a támogatás csak a pont . $\varphi$ $(\delta ,\;\varphi )$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Singular Carrier

A Fourier-analízisben különösen érdekes az általánosított függvény szinguláris támaszának tanulmányozása . Intuitív értelmezése olyan pontok halmaza, amelyeknél "az általánosított függvény nem redukálódik a szokásosra".

Formális definíció

Legyen általánosított függvény . A következőképpen ábrázolható , ahol egy reguláris általánosított függvény , és egy szinguláris általánosított függvény . (Egy ilyen ábrázolás általában véve nem egyedi.) $f$ $f=u+v$ $u$ $v$

A támaszok metszéspontját minden lehetséges bővítésben az általánosított függvény szinguláris támaszának nevezzük . ${\mathrm {supp}}\,v$ $f=u+v$ $f$

Az egyes számhordozó klasszikus jelölése . ${\mathrm {sing\,supp}}\,f$

Példák

Így a Dirac függvény szinguláris támasza a 0 pont.

Ebben a konkrét esetben a szinguláris támasz és az általánosított függvény támasza egybeesik. Ez azonban nem általános tulajdonság. Például egy általánosított függvényre, amely a képlet szerint működik

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

a vivő a szegmens lesz , az egyes számú hordozó pedig a 0 pont. $[0,\;1]$

Egy másik példa a Heaviside lépésfüggvény Fourier-transzformációja egy as konstansig , kivéve azt a pontot, ahol . Mivel ez nyilvánvalóan szinguláris pont, pontosabb azt állítani, hogy a transzformációnak szinguláris támasza van eloszlásként . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

A többváltozós eloszlások esetében a szinguláris támogatások lehetővé teszik a hullámfront-készletek meghatározását és a Huygens-elv számítási szempontból történő megértését . A szinguláris támaszok az eloszláselméletre jellemző jelenségek megértésére is használhatók, például az eloszlások szorzására tett kísérletek (a Dirac-delta függvény négyzetre emelése nem lehetséges, főleg azért, mert a szorzott eloszlások szinguláris támaszait el kell választani).

A szinguláris támasz fontos alkalmazást talál a pszeudodifferenciális operátorok (PDO) elméletében , különösen az OEM pszeudolokalitás tételében .

Mérési hordozó

Mivel a valós egyenes mérőszámai (beleértve a valószínűségi mértékeket is) általánosított függvények (eloszlások) speciális esetei , ugyanúgy beszélhetünk egy mérték támogatásáról is. $\mathbb {R}$

Lásd még

Irodalom

Shubin MA Áldifferenciális operátorok és spektrumelmélet . - 2. kiadás - M .: "Dobrosvet", 2003.